Versore

Template:F In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo uguale ad 1. Un versore è utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore $𝐯$ (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per il reciproco del suo modulo:

$\widehat{𝐯}=\frac{𝐯}{\Vert 𝐯\Vert }.$

Esempi

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

• I versori associati agli assi cartesiani nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:
  1. $\hat{ı},\hat{ȷ},\hat{k};$
  2. ${𝐞}_x,{𝐞}_y,{𝐞}_z;$
  3. ${𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3;$
  4. $\widehat{𝐱},\widehat{𝐲},\widehat{𝐳};$
  5. ${𝐱}_0,{𝐲}_0,{𝐳}_0;$
  6. $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$
• I versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante (e nel sesto caso sono presenti solo due componenti in ognuno dei due vettori rimanenti).
• I versori associati ad un sistema di coordinate polari nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare equivalentemente con:
  1. $\hat{r},\hat{\theta };$
  2. $\widehat{𝐫},\hat{\mathit{\theta }};$
  3. ${𝐞}_r,{𝐞}_{\theta };$
  4. ${𝐫}_0,{\mathit{\theta }}_0.$
• Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore tangente e il versore normale. Si indicano spesso nei seguenti tre modi equivalenti:
  1. $\hat{t},\hat{n};$
  2. $\widehat{𝐭},\widehat{𝐧};$
  3. ${𝐞}_t,{𝐞}_n.$

Derivata di un versore

Template:Vedi anche Sia $\widehat{𝐯}(t)$ un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il prodotto scalare di questo vettore per se stesso abbiamo:

$\widehat{𝐯}\cdot \widehat{𝐯}={\left|\widehat{𝐯}\right|}^2$

e ricordando che i versori hanno modulo unitario si ha

$\widehat{𝐯}\cdot \widehat{𝐯}=1.$

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

${\widehat{𝐯}}^{\prime }\cdot \widehat{𝐯}+\widehat{𝐯}\cdot {\widehat{𝐯}}^{\prime }=0.$

Data la commutatività del prodotto scalare

$2({\widehat{𝐯}}^{\prime }\cdot \widehat{𝐯})=0$

${\widehat{𝐯}}^{\prime }\cdot \widehat{𝐯}=0.$

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di ${\widehat{𝐯}}^{\prime }\cdot \widehat{𝐯}$, si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla se e solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore; per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:

$\widehat{𝐯}(t)=\theta (t),\hat{\theta }+1\hat{r},$

che in coordinate cartesiane diviene:

$\widehat{𝐯}(t)=\cos (\theta (t))\hat{ı}+\sin (\theta (t))\hat{ȷ}.$

Derivando rispetto a $t$ si ottiene:

${\widehat{𝐯}}^{\prime }(t)={\theta }^{\prime }(t)(-\sin (\theta (t))\hat{ı}+\cos (\theta (t))\hat{ȷ}),$

dove il termine

$-\sin (\theta (t))\hat{ı}+\cos (\theta (t))\hat{ȷ}$

è il versore ortogonale di modulo unitario, e dove il termine

${\theta }^{\prime }(t)$

è in generale diverso dall'unità.

Voci correlate

• Vettore (matematica)
• Vettore (fisica)
• Normalizzazione (matematica)
• Norma (matematica)
• Spazio vettoriale
• Spazio normato
• Circonferenza unitaria

Collegamenti esterni

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