Insieme polare

Template:Nota disambigua In matematica, in particolare in analisi funzionale, un insieme polare di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un insieme nello spazio duale che soddisfa determinate proprietà.

Definizione

Si definisce coppia duale una tripla composta da due spazi vettoriali $X$ e $Y$ sullo stesso campo $𝔽$ (dei numeri reali o complessi) e da una forma bilineare $⟨,⟩:X\times Y\to 𝔽$ tale che:

• $\mathrm{\forall }x\in X\setminus \{0\}\mathrm{\exists }y\in Y:⟨x,y⟩\ne 0$
• $\mathrm{\forall }y\in Y\setminus \{0\}\mathrm{\exists }x\in X:⟨x,y⟩\ne 0$

Due elementi $x\in X$ e $y\in Y$ sono ortogonali se $⟨x,y⟩=0$, mentre due insiemi $M\subseteq X$ e $N\subseteq Y$ sono ortogonali se ogni coppia di elementi in $M$ e $N$ è formata da vettori ortogonali fra loro.

L'insieme polare di un sottoinsieme $A$ in $X$ è l'insieme $A^{\circ }$ in $Y$ definito come:

$A^{\circ }:=\{y\in Y:\underset{x\in A}{\sup }|⟨x,y⟩|\le 1\}$

L'insieme detto insieme bipolare di un sottoinsieme $A$ di $X$ è il polare in $X$ di $A^{\circ }$, e si denota con $A^{\circ \circ }$.

Proprietà

• $A^{\circ }$ è assolutamente convesso
• Se $A\subseteq B$ allora $B^{\circ }\subseteq A^{\circ }$
• $(\gamma A{)}^{\circ }=\frac{1}{\mid \gamma \mid }{A}^{\circ }\mathrm{\forall }\gamma \ne 0$
• $(\bigcup _{i\in I}{A}_i{)}^{\circ }=\bigcap _{i\in I}{A}_i^{\circ }$
• Per una coppia duale $(X,Y)$, $A^{\circ }$ è chiuso in $Y$ rispetto alla topologia debole* su $Y$.
• Il bipolare $A^{\circ \circ }$ di $A$ è l'inviluppo assolutamente convesso di $A$, ovvero il più piccolo insieme assolutamente convesso contenente $A$. Se $A$ è già assolutamente convesso allora $A^{\circ \circ }=A$.

Bibliografia

• Template:EnTemplate:Cita libro

Voci correlate

• Forma bilineare
• Spazio duale
• Topologia polare

Collegamenti esterni

• Template:Cita web