Norma operatoriale

In matematica, la norma operatoriale di un operatore lineare è la norma definita sullo spazio degli operatori limitati lineari tra spazi vettoriali normati.

Definizione

Considerando due spazi normati $V$ e $W$ sul medesimo campo $ℝ$ o $ℂ$, una trasformazione lineare $A:V\to W$ è continua se e solo se esiste un numero reale $c$ tale per cui:

$\Vert Av{\Vert }_W\le c\Vert v{\Vert }_V\mathrm{\forall }v\in V$

Intuitivamente, l'operatore $A$ non "allunga" mai i vettori su cui agisce di un fattore maggiore di $c$. In questo modo, l'immagine di un insieme limitato è limitata. Da questo fatto segue che gli operatori lineari continui sono anche detti operatori limitati.

La norma operatoriale è definita considerando il più piccolo $c$ tale per cui la precedente uguaglianza vale per ogni $v$:

$\Vert A{\Vert }_{op}=\min \{c\ge 0:\Vert Av\Vert \le c\Vert v\Vert \text{ per ogni }v\in V\}$

dove il minimo esiste sempre grazie al fatto che tale insieme è chiuso, limitato e non vuoto.

Si può mostrare che le seguenti definizioni sono equivalenti a quella data:

$\begin{array}{cc}\Vert A{\Vert }_{op}& =\sup \{\Vert Av\Vert :v\in V\text{ con }\Vert v\Vert \le 1\}\\ & =\sup \{\Vert Av\Vert :v\in V\text{ con }\Vert v\Vert <1\}\\ & =\sup \{\Vert Av\Vert :v\in V\text{ con }\Vert v\Vert =1\}\\ & =\sup \{\frac{\Vert Av\Vert }{\Vert v\Vert }:v\in V\text{ con }v\ne 0\}\end{array}$

Proprietà

La norma operatoriale è una norma definita sullo spazio degli operatori limitati da $V$ in $W$, che significa:

• $\Vert A{\Vert }_{op}\ge 0$ e $\Vert A{\Vert }_{op}=0$ se e solo se $A=0$.
• Si verifica:

$\Vert aA{\Vert }_{op}=|a|\Vert A{\Vert }_{op}\mathrm{\forall }a$

dove $a$ è uno scalare.

• Valgono le disuguaglianze:

$\Vert A+B{\Vert }_{op}\le \Vert A{\Vert }_{op}+\Vert B{\Vert }_{op}\Vert Av\Vert \le \Vert A{\Vert }_{op}\Vert v\Vert \mathrm{\forall }v\in V$

Se $V$, $W$ e $X$ sono spazi normati sullo stesso campo e $A:V\to W$, $B:W\to X$ sono operatori limitati, allora:

$\Vert BA{\Vert }_{op}\le \Vert B{\Vert }_{op}\Vert A{\Vert }_{op}$

Per gli operatori limitati su $V$ questo implica che la moltiplicazione tra operatori è continua.

Dalla definizione segue inoltre che se una successione di operatori converge nella norma operatoriale allora converge uniformemente su insiemi limitati.

Operatori in spazi di Hilbert

Sia $H$ uno spazio di Hilbert reale e $A:H\to H$ un operatore lineare limitato. Allora si ha:

$\Vert A{\Vert }_{op}=\Vert A^{*}{\Vert }_{op}$

e inoltre:

$\Vert A^{*}A{\Vert }_{op}=\Vert A{\Vert }_{op}^2$

dove $A^{*}$ è l'operatore aggiunto di $A$ (che in uno spazio euclideo con il prodotto scalare standard è rappresentato dalla matrice trasposta coniugata di $A$).

In generale, il raggio spettrale $\rho (A)$ di $A$ è limitato dalla norma operatoriale di $A$:

$\rho (A)\le \Vert A{\Vert }_{op}$

Quando una matrice $N$ è normale la sua forma canonica di Jordan è diagonale, in accordo con il teorema spettrale. In tal caso è semplice vedere che:

$\rho (N)=\Vert N{\Vert }_{op}$

Il teorema spettrale può essere esteso a operatori normali in generale, e la precedente uguaglianza vale per ogni operatore normale limitato $N$. Lo spazio degli operatori limitati su $H$ con la topologia indotta dalla norma operatoriale non è separabile. L'insieme degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert, insieme con la norma operatoriale e l'operazione di aggiuntezza, produce una C*-algebra.

Bibliografia

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Voci correlate

• Norma (matematica)
• Norma uniforme
• Operatore limitato
• Operatore lineare continuo
• Spazio normato