Teorema di Helly

In matematica, con teorema di Helly ci si riferisce a più teoremi dovuti a Eduard Helly. Due di essi riguardano l'analisi funzionale e il passaggio al limite sotto il segno di integrale di Stieltjes. Questi due risultati affermano insieme che una successione di funzioni che sia, localmente, a variazione totale limitata e uniformemente limitata in un punto, ammette una sottosuccessione convergente.

In altre parole, si ha un teorema di compattezza per lo spazio delle funzioni a variazione limitata $B{V}_{loc}$.

Primo teorema di Helly

Sia data una successione $\{f_n{\}}_{n\ge 1}$ di funzioni a variazione limitata su un intervallo $[a,b]$, convergenti puntualmente a una funzione $f$ e tali che le variazioni totali siano uniformemente limitate, ossia esiste $C\ge 0$ tale che:

$\underset{n\ge 1}{\sup }{V}_a^b[f_n]\le C$

Allora la funzione limite $f$ è a sua volta a variazione limitata, e, per ogni funzione continua $g$ si verifica:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)d{f}_n(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)df(x)$

Secondo teorema di Helly

Da ogni insieme infinito $M$ di funzioni date su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, uniformemente limitato nello spazio delle funzioni continue a variazione limitata, si può ricavare una sottosuccessione convergente in ogni punto dell'intervallo $[a,b]$.

Generalizzazioni

Esistono diverse generalizzazione e varianti del teorema di Helly. Il seguente risultato, valido per funzioni a variazione limitata ambientate in spazi di Banach, si deve a Viorel Barbu e Teodor Precupanu.

Sia $X$ uno spazio di Hilbert riflessivo e separabile, e sia $E$ un sottoinsieme convesso di $X$. Detta $\mathrm{\Delta }:X\to [0,\mathrm{\infty })$ una funzione omogenea di grado uno definita positiva, si supponga che $z_n$ è una successione uniformemente limitata in $BV([0,T];X)$ con $z_n(t)\in E$ per ogni $n\in \mathbb{N}$ e $t\in [0,T]$. Allora esiste una sottosuccessione $z_{n_k}$ e una coppia di funzioni $\delta ,z\in BV([0,T];X)$ tali che:

$\underset{[0,t)}{\int }\mathrm{\Delta }(\mathrm{d}{z}_{n_k})\to \delta (t)z_{n_k}(t)\rightharpoonup z(t)\in E$

per ogni $t\in [0,T]$, e:

$\underset{[s,t)}{\int }\mathrm{\Delta }(\mathrm{d}z)\le \delta (t)-\delta (s)$

per ogni $0\le s<t\le T$.

Bibliografia

• Template:Cita libro

Voci correlate

• Funzione a variazione limitata
• Integrale di Stieltjes
• Limitatezza uniforme
• Sottosuccessione
• Successione di funzioni

Collegamenti esterni

• Template:Cita web