Successione di Cauchy

Augustin-Louis Cauchy

In matematica, una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale che, comunque si fissi una distanza arbitrariamente piccola $\epsilon >0$, da un certo punto in poi tutti gli elementi della successione hanno distanza reciproca inferiore ad $\epsilon$ . Ogni successione convergente è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico e ingegnere Augustin-Louis Cauchy.

Definizione

Si definisce successione di Cauchy una successione $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ a valori in uno spazio metrico $(X,d)$ tale che per ogni $\epsilon >0$ esiste $N(\epsilon )=N$ tale che per tutti gli $m,n\ge N$ si verifica:

$d(x_n,x_m)<\epsilon$

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio $X$ tra due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione convergente in $X$ è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\to x$. Poiché essa converge, per ogni $\epsilon >0$ esiste un indice $N$ tale per cui:

$d(x_n,x)<\frac{\epsilon }{2}\mathrm{\forall }n>N$

Considerando allora $m$ e $n$ maggiori di $N$ si ha:

$d(x_n,x_m)<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere. Se tutte le successioni di Cauchy dello spazio metrico $(X,d)$ hanno un limite in $X$, allora $(X,d)$ viene chiamato spazio metrico completo. Dato uno spazio metrico, è sempre possibile "estendere" lo spazio in modo da renderlo completo. Uno spazio normato completo, rispetto alla metrica indotta dalla norma, si dice invece spazio di Banach.

Ogni successione di Cauchy è limitata; e se una successione di Cauchy tende a un limite $L$ ogni sua sottosuccessione tende a $L$.

Alcuni teoremi sulle successioni di Cauchy

Si dice diametro di un certo insieme $E$ in uno spazio metrico $(X,d)$ l'estremo superiore:

$\underset{p,q\in E}{\sup }d(p,q)$

e si indica con:

$\text{diam }E$

in analogia con il diametro del cerchio, in quanto per due punti qualsiasi appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore (al più uguale) al diametro del cerchio stesso.

Teorema della limitatezza delle successioni di Cauchy

Sia $\{x_n\}$ una successione di Cauchy in $(X,d)$. Allora $\{x_n\}$ è limitata in $X$.

Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni $\epsilon >0$ esiste $N(\epsilon )=N$ tale che:

$d(x_n,x_m)<\epsilon \mathrm{\forall }m,n\ge N$

e dunque esiste $N_{*}$ che soddisfa:

$d(x_n,x_m)<1\mathrm{\forall }m,n\ge N_{*}$

da cui:

$d(x_n,x_{N_{*}})<1\mathrm{\forall }n\ge N_{*}$

Sia:

$r=\max \{1,d(x_1,x_{N_{*}}),d(x_2,x_{N_{*}}),\dots ,d(x_{N_{*}-1},x_{N_{*}})\}$

Allora:

$d(x_n,x_m)\le d(x_n,x_{N*})+d(x_m,x_{N*})\le r+r=2r\mathrm{\forall }n,m$

Perciò $\{x_n\}$ è limitata.

Teorema dell'implicazione dalla convergenza

Sia $\{p_n\}$ convergente. Allora $\{p_n\}$ è una successione di Cauchy.

Infatti, per definizione di convergenza, per ogni $\epsilon >0$ si può trovare $N(\epsilon )=N$ tale che esiste $p$ che soddisfa:

$d(p_n,p)<\epsilon \mathrm{\forall }n\ge N$

Dunque esiste un indice di successione $m\ge n$ per cui, applicando la disuguaglianza triangolare, si ha

$d(p_n,p_m)\le d(p_m,p)+d(p,p_n)<2\epsilon$

Per cui il teorema è dimostrato.

Teorema della convergenza in spazi metrici

Sia $(X,d)$, con $X$ compatto e $\{p_n\}$ una successione di Cauchy in $X$. Allora $\{p_n\}$ converge a qualche punto di $X$.

Infatti, sia, come da enunciato, $\{p_n\}$ una successione di Cauchy. Per ogni $N$ numero naturale, si costruisca $E_N$ nel seguente modo:

$E_N:=\{p_N,p_{N+1},p_{N+2},\dots \}$

${\bar{E}}_N\subset X\mathrm{\forall }N$

dove $\bar{E}$ è la chiusura di $E$ (unione dell'insieme con i suoi punti di accumulazione). Trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\text{diam }{\bar{E}}_N=0$

Inoltre:

$E_N\supset E_{N+1}$

che implica:

${\bar{E}}_N\supset {\bar{E}}_{N+1}$

e quindi esiste un unico $p$ tale che $p\in X$ per ogni $N$. A questo punto, per ogni $\epsilon >0$ esiste $\tilde{N}$ tale per cui:

$\text{diam}{\bar{E}}_N<\epsilon \mathrm{\forall }N\ge \tilde{N}$

da cui:

$d(p,q)<\epsilon \mathrm{\forall }q\in {\bar{E}}_N$

che implica:

$d(p,p_n)<\epsilon \mathrm{\forall }n\ge \tilde{N}$

il che significa $p_n\to p$, ovvero la successione converge.

Teorema della completezza di R^k

Uno spazio metrico si dice completo quando la condizione di Cauchy per le successioni è condizione sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in ${ℝ}^k$ ogni successione di Cauchy converge.

Infatti, presa una successione di Cauchy $\{{𝐱}_n\}$ a valori in ${ℝ}^k$, sia come per il teorema precedente:

$E_N:=\{x_N,x_{N+1},x_{N+2},\dots \}$

Allora è possibile costruire per qualche $N$ un $E_N$ tale che $\text{diam}{E}_n<1$. Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito, quello dell'insieme $\{x_1,...,x_{N-1}\}$, e dall'altra c'è $E_N$. Per il teorema di Heine-Borel un sottoinsieme limitato in ${ℝ}^k$ ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di ${ℝ}^k$.

Numeri razionali e numeri reali

Non tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei numeri razionali, la successione

$x_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}$

dove $F_n$ sono i numeri della successione di Fibonacci, è di Cauchy e tende a un numero che verifica $x^2=x+1$, ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali.

Bibliografia

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Voci correlate

• Convergenza
• Criterio di convergenza di Cauchy
• Distanza (matematica)
• Limite di una successione
• Sottosuccessione
• Spazio metrico completo
• Successione (matematica)

Collegamenti esterni

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