Punto di accumulazione

Template:F In matematica il punto di accumulazione è uno dei concetti principali dell'analisi matematica e della topologia.

Definizione

Dato l'insieme $A\subset ℝ$ e $x_0\in ℝ$ (non interessa che $x_0$ appartenga ad $A$ o meno), si dice che $x_0$ è punto di accumulazione per l'insieme $A$ se in ogni intorno $I(x_0)$ di $x_0$ esiste almeno un elemento $x$ diverso da $x_0$ e appartenente ad $A$. In formule:

$\mathrm{\forall }I(x_0)\mathrm{\exists }x\in A:x\in I(x_0)\setminus \{x_0\}.$

Intuitivamente questo significa che arbitrariamente vicino a $x_0$ ci sono sempre punti di $A$ (diversi da $x_0$).

La definizione di punto di accumulazione è la negazione di quella di punto isolato.

Generalizzazioni

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto $x_0$ è di accumulazione per un insieme $S$ se l'insieme $S$ contiene punti "arbitrariamente vicini" ad $x_0$. La nozione di "arbitrariamente vicino" è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

Spazi topologici

In topologia un punto $x_0$ appartenente ad uno spazio topologico $(X,T)$ è un punto di accumulazione per un sottoinsieme $S$ di $X$ se qualsiasi aperto $A$ contenente $x_0$ interseca $S$ in almeno un punto diverso da $x_0$. In simboli:

$\mathrm{\forall }A\in T\text{ tale che }{x}_0\in A:(A\setminus \{x_0\})\cap S=\varnothing .$

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

$\mathrm{\forall }r>0:(D(x_0,r)\setminus \{x_0\})\cap S=\varnothing ,$

dove $D(x_0,r)$ è la palla di raggio $r$ e centro $x_0$. In altre parole, ogni palla centrata in $x_0$ interseca $S$ in qualche punto diverso da $x_0$.

Nel caso di spazi metrici, se $x_0$ è punto di accumulazione per $S$, allora è possibile trovare punti di $S$, distinti da $x_0$ a distanza arbitrariamente piccola da $x_0$. Dunque in ogni intorno di $x_0$ cadono infiniti punti di $S$.

Nozioni correlate

L'insieme dei punti di accumulazione di $S$ è detto insieme derivato di $S$ e si indica di solito con $S^{\prime }$.

Voci correlate

• Limite
• Insieme limite
• Punto isolato
• Punto di aderenza
• Frontiera (topologia)
• Teorema di Bolzano-Weierstrass

Collegamenti esterni

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