Criterio di convergenza di Cauchy

Il criterio di convergenza di Cauchy è un teorema di analisi matematica che fornisce le condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza del limite per una successione di numeri reali o complessi (o, più in generale, per una successione a valori in uno spazio metrico completo).

Oltre al risultato principale, vi sono numerosi criteri di convergenza applicabili in situazioni diverse (serie, funzioni, successioni e serie di funzioni, ecc.), che sono a loro volta chiamati criteri di Cauchy per la somiglianza concettuale.

Criterio di Cauchy per le successioni

Il criterio di convergenza di Cauchy asserisce che una successione $\{a_n\}$ di numeri reali ha limite finito se e solo se è di Cauchy. In altre parole, se e solo se per ogni $\epsilon >0$ esiste $N$ tale che $|a_n-a_m|<\epsilon$ per ogni $n,m>N$.

Una successione convergente è sempre di Cauchy, in ogni contesto. La proprietà essenziale che garantisce l'implicazione opposta è la completezza dei numeri reali.

Dimostrazione

Innanzitutto proviamo che se $\{a_n\}$ converge allora è di Cauchy. Per ipotesi,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$

cioè per ogni $\epsilon >0$ esiste $N$ tale che

$|a_n-a|<\epsilon$

per ogni $n>N$. Dalla disuguaglianza triangolare si ricava:

$|a_n-a_m|\le |a_n-a|+|a_m-a|<2\epsilon$

per ogni coppia $n$ e $m$ di numeri maggiori di $N$. Poiché $2\epsilon$ è "piccolo a piacere", ne segue che $\{a_n\}$ è una successione di Cauchy.

Mostriamo l'implicazione inversa. Sia $\{a_n\}$ di Cauchy. Una tale successione è necessariamente limitata. Quindi è contenuta in un intervallo chiuso $[-R,R]$ per $R$ sufficientemente grande. Questo intervallo è un insieme chiuso e limitato di $ℝ$: un tale insieme di $ℝ$ è compatto per il teorema di Heine-Borel (la completezza di $ℝ$ è fondamentale per ottenere questo risultato).

Poiché la successione $\{a_n\}$ è contenuta in un compatto, esiste una sottosuccessione $\{a_{n_k}\}$ convergente ad un certo limite $a$. Dalla definizione di limite, per ogni $\epsilon >0$ esiste $N$ tale che

$|a_{n_k}-a|<\epsilon$

per ogni $n_k>N$. Poiché $\{a_n\}$ è una successione di Cauchy, esiste $N^{\prime }$ tale che

$|a_n-a_m|<\epsilon$

per ogni $n,m>N^{\prime }$. Quindi

$|a_n-a|\le |a_n-a_{n_k}|+|a-a_{n_k}|<2\epsilon$

per ogni $n$ maggiore di $\max \{N,N^{\prime }\}.$

Criterio di Cauchy per i limiti di funzioni

Sia $f$ una funzione reale definita in un insieme $X\subseteq ℝ$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione di $X$ (eventualmente infinito). Allora $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ esiste ed è reale se e solo se per ogni $\epsilon >0$ esiste un intorno $V$ di $x_0$ tale che:

$|f(t_1)-f(t_2)|<\epsilon$

per ogni coppia di reali $t_1,t_2\in X\cap V$ e diversi da $x_0$.

Criterio di Cauchy per l'integrale improprio

Dal precedente criterio per i limiti di funzioni, discende il seguente criterio.

Sia $f:]a,b]\to ℝ$ una funzione integrabile secondo Riemann in ogni sottointervallo chiuso contenuto in $]a,b]$. Allora $f$ è integrabile in senso improprio in $]a,b]$ se e solo se per ogni $\epsilon >0$ esiste un intorno $U$ di $a$ tale che

$|\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}f(x)dx|<\epsilon$

per ogni $t_1,t_2\in ]a,b]\cap U$.

Criterio di Cauchy per le serie numeriche

Adattando il discorso alle serie, si può enunciare questo criterio, corollario immediato dell'enunciato precedente. Una serie $\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$ a valori reali è convergente se e solo se per ogni $\epsilon >0$ esiste un $n_{\epsilon }$ tale che per ogni $n>n_{\epsilon }$ e per ogni $p$ in $\mathbb{N}$ vale che $|a_{n+1}+..+a_{n+p}|<\epsilon$.

Infatti il termine compreso dentro il valore assoluto non è altro che $|s_{n+p}-s_n|$, dove $\{s_n\}$ è la successione delle somme parziali.

Successioni di funzioni

Criteri di convergenza analoghi valgono anche per le successioni di funzioni.

Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale

Sia $\{f_n(x)\}$ una successione di funzioni definite in un insieme $A\subseteq ℂ$. Essa converge puntualmente in $B\subseteq A$se e solo se per ogni $x\in B$ e per ogni $\epsilon >0$ esiste un indice $\nu \in \mathbb{N}$ tale che:

$|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$

per ogni $n,m>\nu$.

In questa definizione, l'indice $\nu$ dipende sia dalla scelta del punto $x$, sia dalla scelta di $\epsilon$.

Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

Sia $\{f_n(x)\}$ una successione di funzioni definite in un insieme $A\subseteq ℂ$. Essa converge uniformemente in $B\subseteq A$ se e solo se per ogni $\epsilon >0$ esiste un indice $\nu \in \mathbb{N}$ tale che:

$|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$

per ogni $n,m>\nu$ e ogni $x\in B$.

Come ci si aspetta dalla nozione di convergenza uniforme, in questo caso l'indice $\nu$ dipende solamente dalla scelta di $\epsilon$.

Serie di funzioni

Dall'applicazione dei due precedenti criteri sulle successioni di funzioni alla successione delle somme parziali di una serie di funzioni si ottengono immediatamente i due seguenti criteri di convergenza.

Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale

Sia $\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ una serie di funzioni definite in un insieme $A\subseteq ℂ$. Essa converge puntualmente in $B\subseteq A$ se e solo se per ogni $x\in B$ e per ogni $\epsilon >0$ esiste un indice $\nu \in \mathbb{N}$ tale che:

$|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+...+f_{n+p}(x)|<\epsilon$

per ogni $n>\nu$ (ε,x) e ogni naturale $p>0$.

Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

Sia $\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ una serie di funzioni definite in un insieme $A\subseteq ℂ$. Essa converge uniformemente in $B\subseteq A$ se e solo se per ogni $\epsilon >0$ esiste un indice $\nu \in \mathbb{N}$ tale che:

$|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+...+f_{n+p}(x)|<\epsilon$

per ogni $n>\nu$( ε) e ogni naturale $p>0$.

Prodotti infiniti

Esiste anche un analogo del criterio di Cauchy per la convergenza di un prodotto infinito.

Il prodotto infinito

$\prod _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$

converge se e solo se per ogni $\epsilon >0$ esiste $\nu$ tale che:

$|a_{n+1}{a}_{n+2}\cdot \cdot \cdot a_{n+p}-1|<\epsilon$

per ogni $n>\nu$ e ogni naturale $p>0$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Successione di Cauchy
• Spazio completo