Sogno del sophomore

Nella matematica, il "sogno del sophomore" è la coppia di identità (specialmente la prima)

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}dx& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{n}^{-n}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}\end{array}$

scoperte nel 1697 da Johann Bernoulli.

I valori numerici di queste costanti sono approssimativamente $1.291285997...$ e $0.7834305107...$, rispettivamente.

Il nome "sogno del sophomore", che appare in Borwein, Bailey & Girgensohn (2004), è in contrasto con il nome "sogno della matricola" che è assegnato alla identità errata $(x+y{)}^n=x^n+y^n$. Il sogno del sophomore sembra "troppo bello per essere vero", ma in realtà lo è.

Dimostrazione

Grafici delle funzioni $y=x^x$ (rosso, in basso) e $y=x^{-x}$ (grigio, in alto) nell'intervallo $(0,1]$.

Le dimostrazioni delle due identità sono simili, quindi qui si dimostrerà soltanto la seconda. I passi chiave della dimostrazione sono:

• scrivere $x^x=\exp (x\log x)$ (utilizzando la notazione $\exp (t)$ per la funzione esponenziale $e^t$ in base e);
• espandere $\exp (x\log x)$ utilizzando la serie di potenze dell'esponenziale; e
• integrare termine a termine, usando l'integrazione per sostituzione.

In dettaglio, si espande $x^x$ come

$x^x=\exp (x\log x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}.$

Pertanto, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx.$

Per la convergenza uniforme della serie di potenze, si può scambiare la sommatoria con l'integrale e ricavare

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx.$

Per valutare gli integrali sopra, si può cambiare la variabile utilizzando la sostituzione $x=\exp (-\frac{u}{n+1})$. Con questo cambio di variabile, gli estremi d'integrazioni diventano $0<u<\mathrm{\infty }$, fornendo l'identità

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n(\log x{)}^{n}dx=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^n{e}^{-u}du.$

Secondo l'identità integrale di Eulero per la funzione Gamma, si ha

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^n{e}^{-u}du=n!,$

in modo che

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}.$

Sommando (e cambiando indice in modo che inizi in $n=1$ invece di $n=0$), si ricava l'identità.

Dimostrazione storica

La dimostrazione originale, fornita in Bernoulli (1697), e presentata nella forma moderna in Dunham (2005), differisce da quella sopra per come è calcolato l'integrale termine a termine $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n(\log x{)}^{n}dx$, ma è tuttavia la stessa, omettendo dettagli tecnici per giustificare i passaggi (come l'integrazione). Invece di operare un cambio di variabile, ottenendo la funzione Gamma (che non era ancora conosciuta), Bernoulli usò l'integrazione per parti per calcolare iterativamente i termini.

L'integrazione per parti procede come segue, variando indipendentemente i due esponenti per ottenere una formula ricorsiva. Si calcola inizialmente un integrale indefinito, omettendo la costante d'integrazione $+C$ sia perché storicamente fu così, sia perché sparisce quando si valuta l'integrale definito. Si può integrare $\int x^m(\ln x{)}^{n}dx$ prendendo $u=(\ln x{)}^n$ e $dv=x^{m}dx$, da cui si ricava:

$\begin{array}{cc}\int x^m(\ln x{)}^{n}dx& =\frac{x^{m+1}(\ln x{)}^n}{m+1}-\frac{n}{m+1}\int x^{m+1}\frac{(\ln x{)}^{n-1}}{x}dx\text{(for }m\ne -1\text{)}\\ & =\frac{x^{m+1}}{m+1}(\ln x{)}^n-\frac{n}{m+1}\int x^m(\ln x{)}^{n-1}dx\text{(for }m\ne -1\text{)}\end{array}$

(anche nella Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche). Questo metodo riduce di $1$ la potenza del logaritmo nell'integrando e così si può calcolare l'integrale induttivamente, ottenendo

$\int x^m(\ln x{)}^{n}dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot \sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{(n{)}_i}{(m+1{)}^i}(\ln x{)}^{n-i}$

dove $(n{)}_i$ indica il fattoriale decrescente; compare una somma finita perché l'induzione si ferma in $0$, dal momento che $n$ è un intero.

In questo caso $m=n$, e sono interi, perciò

$\int x^n(\ln x{)}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot \sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{(n{)}_i}{(n+1{)}^i}(\ln x{)}^{n-i}.$

Integrando da $0$ a $1$, tutti i termini si annullano eccetto l'ultimo in $1$, si ottiene:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\ln x{)}^n}{n!}dx=\frac{1}{n!}\frac{1^{n+1}}{n+1}(-1{)}^n\frac{(n{)}_n}{(n+1{)}^n}=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}.$

Da un punto di vista moderno, questo è (a meno di una costante moltiplicativa) al calcolare l'identità integrale di Eulero $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ per la funzione Gamma in un differente dominio (corrispondente al cambiare la variabile), poiché quest'ultima può essere essa stessa calcolata attraverso ripetute integrazioni per parti.

Bibliografia

Formula

• Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381
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• OEIS, (successione A083648 in OEIS) e (successione A073009 in OEIS)
• Weisstein, Eric W. "Sophomore's Dream". MathWorld.
• Max R. P. Grossmann (2017): Sophomore's dream. 1,000,000 cifre della prima costante

Funzione x^x

• Literature for x^x and Sophomore's Dream, Tetration Forum, 03/02/2010
• The Coupled Exponential, Jay A. Fantini, Gilbert C. Kloepfer, 1998
• Sophomore's Dream Function, Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.
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Voci correlate

• Serie (matematica)
• Serie di potenze
• Funzione Gamma
• Integrazione per parti