Teorema binomiale

In algebra, il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza $n$ -esima di un binomio qualsiasi mediante la formula^[1]

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

,

in cui il fattore $(\binom{n}{k})$ rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con $\frac{n!}{k! (n - k)!}$ . Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.^[2]

Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi relativi a $n = 2$ , $n = 3$ ed $n = 4$ :

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

(x + y)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}

(x + y)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} .

Nel caso in cui $n$ sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di $n$ reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

Esposizione

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È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di $(a + b)$ in una sommatoria nella forma

\begin{matrix} (a + b)^{n} & = (\binom{n}{0}) a^{n} b^{0} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b^{1} + (\binom{n}{2}) a^{n - 2} b^{2} + (\binom{n}{3}) a^{n - 3} b^{3} + \dots \\ \dots + (\binom{n}{n - 1}) a^{1} b^{n - 1} + (\binom{n}{n}) a^{0} b^{n}, \end{matrix}

dove $(\binom{n}{k})$ rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} .

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo $1$ ad $a$ e $a$ a $b$ , considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:

(1 + a)^{n} = (\binom{n}{0}) a^{0} + (\binom{n}{1}) a^{1} + (\binom{n}{2}) a^{2} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) a^{n - 1} + (\binom{n}{n}) a^{n},

o, in maniera equivalente,

(1 + a)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} .

Prima dimostrazione (induttiva)

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

(a + b)^{1} = \sum_{k = 0}^{1} (\binom{1}{k}) a^{(1 - k)} b^{k} = a + b

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente $n$ qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{(n - k)} b^{k},

si ha

(a + b)^{n + 1}

= (a + b) (a + b)^{n}

= (a + b) \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

e moltiplicando la sommatoria per $(a + b)$ si ha

= \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1},

da cui

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k}

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k}

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k + 1}) a^{n + 1 - (k + 1)} b^{k + 1}

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k + 1}) a^{n - k} b^{k + 1} .

Inoltre

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1}

= \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1} + (\binom{n}{n}) b^{n + 1} .

Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale

(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k + 1}) + (\binom{n}{k})

si ha che

(a + b)^{n + 1}

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} ((\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})) a^{n - k} b^{k + 1} + (\binom{n}{n}) b^{n + 1}

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n + 1}{k + 1}) a^{n - k} b^{k + 1} + (\binom{n}{n}) b^{n + 1}

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + (\binom{n}{n}) b^{n + 1} .

Poiché infine

(\binom{n}{0}) = (\binom{n + 1}{0}) = 1

e

(\binom{n}{n}) = (\binom{n + 1}{n + 1}) = 1,

si ha che

(\binom{n}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + (\binom{n}{n}) b^{n + 1} = (\binom{n + 1}{0}) a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + (\binom{n + 1}{n + 1}) b^{n + 1}

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

(a + b)^{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{(n + 1) - k} b^{k}

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione (combinatoria)

Se scriviamo $(a + b)^{n}$ come il prodotto

$(a + b) (a + b) (a + b) \dots$

con $n$ fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine $a^{n - k} b^{k}$ è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo $n - k$ volte $a$ e $k$ volte $b$ dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da $(\binom{n}{k})$ .

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di $k$ da $0$ a $n$ , si ha subito la tesi.

Caso di esponente generale

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per $n$ numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per $(1 + x)^{α}, α \in ℝ$ , nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia $(1 + x)^{α} = 1 + α x + o (x),$ dove il resto $o (x)$ indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.

Lo sviluppo completo è

(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2} x^{2} + \frac{α (α - 1) (α - 2)}{6} x^{3} + \dots + (\binom{α}{k}) x^{k} + o (x^{k})

,

dove $(\binom{α}{k})$ è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

(\binom{α}{k}) = \frac{α (α - 1) \dots (α - k + 1)}{k!}

.

Dimostrazione

Lo sviluppo attorno all'origine della funzione $(1 + x)^{α}$ è

(1 + x)^{α} = (1 + x)_{x = 0}^{α} + \frac{{((1 + x)^{α})}_{x = 0}^{'}}{1!} x + \frac{{((1 + x)^{α})}_{x = 0}^{''}}{2!} x^{2} + \dots + \frac{{((1 + x)^{α})}_{x = 0}^{(k)}}{k!} x^{k} + \dots

e, poiché

{((1 + x)^{α})}_{x = 0}^{'} = α (1 + x)_{x = 0}^{α - 1} = α

⋮ ⋮

{((1 + x)^{α})}_{x = 0}^{(i)} = α (α - 1) \dots (α - i + 1) (1 + x)_{x = 0}^{α - i} = α (α - 1) \dots (α - i + 1)

si ottiene

(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{α (α - 1) \dots (α - k + 1)}{k!} x^{k} + \dots

che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al $k$ -esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine $o (x^{k})$ .

Note

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Teorema binomiale

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Esposizione

Prima dimostrazione (induttiva)

Seconda dimostrazione (combinatoria)

Caso di esponente generale

Dimostrazione

Note

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