Singolarità isolata

Template:Nota disambigua Template:F In matematica, e più precisamente in analisi complessa, una singolarità isolata è un punto in cui una funzione olomorfa non è definita mentre risulta definita in ogni altro punto vicino. La funzione olomorfa può avere nel punto essenzialmente tre tipi di comportamenti diversi, e a seconda del comportamento la singolarità è detta eliminabile, polo o essenziale.

Definizione

Sia $z_0$ un punto contenuto in un insieme aperto $A$ del piano complesso. Una funzione

$f:A\setminus \{z_0\}\to ℂ$

ha una singolarità isolata in $z_0$ se esiste un intorno $U$ di $z_0$ per cui la funzione è olomorfa in $U\setminus \{z_0\}$. Quindi la funzione non è definita in $z_0$, mentre in ogni altro punto sufficientemente vicino è definita e differenziabile in senso complesso.

Sviluppo in serie di Laurent

La funzione $f$ ammette uno sviluppo come serie di Laurent nel punto $z_0$. La funzione è quindi scrivibile in un intorno del punto come serie

$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n.$

Si distinguono generalmente tre tipi di comportamento della $f$ vicino al punto di singolarità $z_0$. Ciascuno di questi è determinato dallo sviluppo locale in serie di Laurent, oppure dal comportamento del modulo $|f(z)|$ vicino al punto.

Si noti che la tipologia di singolarità dell'intera funzione non è univocamente determinata dalla serie di Laurent locale, se essa ha raggio di convergenza positivo.

Singolarità eliminabile

La singolarità $z_0$ è eliminabile se esiste il limite

$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=L\in ℂ.$

Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

• I termini negativi della serie di Laurent sono tutti nulli, cioè $a_n=0$ per ogni $n<0$.
• Il modulo $|f(z)|$ è limitato in un intorno di $z_0$,
• La funzione si estende ad una funzione continua su tutto $A$,
• La funzione si estende ad una funzione olomorfa su tutto $A$.

Esempio: la funzione $f(z)=\frac{\sin (z)}{z}$ presenta una singolarità eliminabile in $z=0$.

Polo

Template:Vedi anche La singolarità $z_0$ è un polo se esiste un numero intero positivo $n$ tale che esista il limite

$\underset{z\to z_0}{\lim }(z-z_0{)}^n\cdot f(z)=L\in ℂ,$

con $L\ne 0$. Il numero $n$ è l'ordine o molteplicità del polo. Un polo di ordine 1 è detto semplice.

Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

• Esiste solo un numero finito (diverso da zero) di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, esiste $n<0$ tale che $a_n\ne 0$ e $a_k=0$ per ogni $k<n$.
• Il modulo $|f(z)|$ tende a $+\mathrm{\infty }$ se $z$ tende a $z_0$.
• La funzione $g(z)=1/f(z)$ è definita in un intorno di $z_0$ ed ha una singolarità eliminabile in $z_0$.

Esempio: la funzione $f(z)=\frac{1}{(z-1{)}^2}$ presenta un polo di ordine 2 ($n=2$), detto anche polo doppio, in $z=1$.

Singolarità essenziale

Una singolarità essenziale è una singolarità che non rientra nei casi precedenti, cioè che non sia né una singolarità eliminabile né un polo. Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

• Esiste un numero infinito di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, per ogni $n_0<0$ esiste un $n<n_0$ con $a_n\ne 0$.
• Il modulo $|f(z)|$ non ha limite per $z$ tendente a $z_0$

Esempio: la funzione $f(z)=\frac{e^{\frac{1}{z}}}{z^3}$ presenta una singolarità essenziale in $z=0$.

Esempi

Ogni funzione

$f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}$

scritta come rapporto di due polinomi è definita nell'aperto $A$ ottenuto rimuovendo da $ℂ$ le radici $z_1,\dots ,z_k$ di $q$. Se queste non sono anche radici di $p$, in ogni $z_i$ la funzione ha un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice.

La funzione

$f(z)=e^{\frac{1}{z}}$

definita su $ℂ\setminus \{0\}$ ha una singolarità essenziale in $0$. Infatti lo sviluppo di Laurent è

$f(z)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^{-n}}{n!}$

che ha infiniti termini negativi non nulli.

Anche il fatto che la funzione $|f(z)|=|e^{\frac{1}{z}}|$ non ammetta limite (finito o infinito) per $z$ che tende a 0 è sufficiente per dimostrare l'essenzialità della singolarità.

Proprietà

Traslazione della serie di Laurent

Sia $k$ un numero intero. Moltiplicando la funzione $f(z)$ per $(z-z_0{)}^k$, i coefficienti della serie di Laurent centrata in $z_0$ vengono traslati di $k$ posti (a sinistra o a destra a seconda del segno di $k$). In questo modo è possibile modificare l'ordine di un polo, trasformare ogni polo in singolarità eliminabile, oppure viceversa creare poli a partire da singolarità eliminabili.

Se la singolarità è essenziale, rimane tale anche dopo la moltiplicazione per $(z-z_0{)}^k$.

Singolarità essenziale

Una funzione vicino ad una singolarità essenziale è estremamente discontinua. Per il Teorema di Casorati-Weierstrass, l'immagine $f(U)$ di ogni intorno aperto $U$ di $z_0$ è un aperto denso del piano complesso. Il teorema di Picard afferma di più: $f(U)$ è tutto il piano complesso, oppure il piano tranne un punto.

Da questo segue ad esempio che per ogni numero complesso $\lambda$ esiste una successione di punti $z_i\to z_0$ convergenti a $z_0$ tali che $f(z_i)\to \lambda$. In altre parole, la funzione intorno a $z_0$ "converge a qualsiasi cosa".

Singolarità all'infinito

Per una funzione intera

$f:ℂ\to ℂ$

(o più in generale una funzione olomorfa definita sul complementare di un compatto di $ℂ$) è possibile parlare di singolarità all'infinito. Questa è la singolarità in $0$ della funzione

$g:ℂ\setminus \{0\}\to ℂ$

definita come $g(z)=f(1/z)$. In particolare, la singolarità all'infinito può essere eliminabile, un polo o essenziale. Si può studiare una singolarità all'infinito di una funzione $f(z)$ cambiando la variabile:

$z=\frac{1}{\eta }$

allora il punto all'infinito diventa l'origine e acquisisce il tipo di singolarità della funzione $g(\eta )=f(\frac{1}{z})$ nel punto $\eta =0$.

Il Teorema di Liouville dice che una funzione intera avente singolarità eliminabile all'infinito è costante.

Voci correlate

• Polo (analisi complessa)
• Punto fuchsiano
• Residuo (analisi complessa)

Collegamenti esterni

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