Teorema di Liouville (analisi complessa)

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Liouville è un teorema riguardante una proprietà caratteristica delle funzioni intere. Stabilisce che, detta $f:ℂ\to ℂ$ una funzione intera, se esiste $M\in ℝ$ tale che $|f(z)|\le M$ per ogni $z\in ℂ$, ovvero se $f$ è limitata, allora $f$ è costante.

Il teorema di Liouville può essere rafforzato dal piccolo teorema di Picard che afferma che l'immagine di $ℂ$ attraverso una funzione intera non costante è o tutto il piano complesso o il piano complesso privato di un punto. Permette inoltre di ottenere una semplice dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.

Dimostrazione

Dato che $f$ è intera si potrà scrivere un suo sviluppo attorno all'origine:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$

Per i coefficienti, valgono le seguenti relazioni ricavabili tramite il teorema integrale di Cauchy e la formula di Cauchy:

$a_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C_R}\frac{f(\xi )}{{\xi }^{n+1}}d\xi$

dove $C_R$ è la circonferenza centrata nell'origine e di raggio $R$, abbastanza grande da contenere $z$.

Applicando il lemma di Darboux si ottiene la seguente disuguaglianza:

$|a_n|=\left|\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C_R}\frac{f(\xi )}{{\xi }^{n+1}}d\xi \right|\le \frac{1}{2\pi R^{n+1}}\underset{C_R}{\max }|f|(2\pi R)=\frac{1}{R^n}\underset{C_R}{\max }|f|$

Se si impone adesso che il modulo di $f$ sia limitato dal numero positivo $M$, si vede che per tutti gli $n$ naturali diversi da 0, la quantità $M/R^n$ e di conseguenza $a_n$ tende a 0 se $R$ tende all'infinito. Di conseguenza $a_n=0$ per ogni $n\ne 0$, che è la tesi.

Estensione

Un'estensione del teorema si può operare indebolendo le ipotesi, ossia richiedendo non che la funzione sia limitata, ma che essa abbia valori in un semipiano.

Sia $f:ℂ\to ℂ$ una funzione intera. Se $f(ℂ)$ è contenuta in un semipiano, allora $f$ è costante.

Infatti, senza ledere la generalità si può supporre che il semipiano sia il semipiano individuato dai numeri complessi avente parte reale positiva. Detta $u$ la parte reale di $f$, risulta quindi che $u$ è armonica (poiché parte reale di una funzione olomorfa) e positiva, quindi $u$ è costante. Dalle relazioni di Cauchy-Riemann si ha anche che $f$ è costante.

Bibliografia

• Template:En V.S. Vladimirov, Methods of the theory of functions of several complex variables , M.I.T. (1966)
• Template:Fr G. Monge, Application de l'analyse à la géométrie , Bachelier (1850) pp. 609–616
• Template:Ru A.V. Bitsadze, Fundamentals of the theory of analytic functions of a complex variable , Moscow (1972)

Voci correlate

• Formula integrale di Cauchy
• Funzione intera
• Integrazione complessa
• Teorema di Picard
• Teorema integrale di Cauchy

Collegamenti esterni

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