Polo (analisi complessa)

Il modulo della funzione Gamma con alcuni poli.

In matematica, e in particolare in analisi complessa, per polo di una funzione olomorfa $f(z)$, si intende una singolarità isolata $z_0$ della funzione per cui

$\underset{z\to z_0}{\lim }|f(z)|=+\mathrm{\infty }.$

Il polo si distingue dalla singolarità eliminabile e dalla singolarità essenziale, per le quali tale limite rispettivamente è finito e non esiste.

La conoscenza delle caratteristiche dei poli di una funzione olomorfa consente di determinare molte delle sue caratteristiche; inoltre lo studio dei poli è fondamentale nel calcolo dei residui.

Serie di Laurent

Una definizione equivalente può essere data tramite serie di Laurent. Una singolarità isolata $z_0$ è un polo se e solo se lo sviluppo locale in serie di Laurent è del tipo

$f(z)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{(z-z_0)}^n+\frac{b_1}{z-z_0}+\cdots +\frac{b_k}{{(z-z_0)}^k},$

con $b_k\ne 0$, per qualche $k>0$.

In altre parole, una singolarità isolata è un polo se e solo se la parte principale della serie di Laurent in un intorno bucato della singolarità è costituita da un numero finito di termini, cioè se i coefficienti con apice $i$ negativo sono un numero finito $k$ diverso da zero:

$f(z)=\sum _{n=-k}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{(z-z_0)}^n.$

Ordine del polo

L'ordine del polo è il numero naturale $k$ di termini che costituiscono la parte principale della serie di Laurent. Analogamente, $z_0$ è un polo se per qualche $h>0$ il limite:

$b_h=\underset{z\to z_0}{\lim }f(z){(z-z_0)}^h,$

esiste, è finito ed è diverso da zero. In questo caso la funzione ha nel punto $z_0$ un polo di ordine $h$.

Esempi

Una funzione

$f(z)=\frac{p(z)}{q(z)},$

dove $p$ e $q$ sono polinomi senza radici in comune (quindi la funzione è ridotta ai minimi termini), è definita su

$ℂ\setminus \{z_1,\dots ,z_n\},$

dove $z_1,\dots ,z_n$ sono le radici di $q$. Ciascuno di questi punti è un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice. Ad esempio,

$f(z)=\frac{z+1}{z(z-1{)}^2},$

ha un polo di ordine $1$ in $0$ ed un polo di ordine $2$ in $1$.

La funzione

$f(x)=\frac{1}{\sin x},$

è definita su

$ℂ\setminus \{k\pi |k\in \mathbb{Z}\},$

ed ha un polo di ordine uno su ogni punto $k\pi$. Ha quindi infiniti poli.

Funzione meromorfa

Una funzione olomorfa $f$ avente poli nei punti $z_1,\dots z_n$ può essere considerata come una funzione il cui dominio comprende anche questi punti, il cui codominio è la sfera di Riemann $ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$: è sufficiente imporre $f(z_i)=\mathrm{\infty }$. Il risultato di questa operazione è una funzione meromorfa.

Voci correlate

• Zero (analisi complessa)
• Residuo (analisi complessa)
• Funzione meromorfa
• Indicatore logaritmico

Collegamenti esterni

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