Regola della funzione inversa

Template:F In analisi matematica, la regola della funzione inversa è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione inversa di una funzione derivabile, quando essa esiste, anche senza conoscerne l'equazione.

Definizione

Se definita, la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione calcolata nella controimmagine del punto. Più precisamente, se $f:D\to ℝ$ è una funzione invertibile, se $x_0\in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(D)$, se $f^{-1}(y)$ è continua nel punto $y_0$ e se esiste $f^{\prime }(x_0)\ne 0$, allora $f^{-1}(y)$ è derivabile in $y_0=f(x_0)$ e vale:

$D[f^{-1}](y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)},$

dove $D[f^{-1}]$ e $f^{\prime }$ sono notazioni che indicano la derivata e $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(D)$ indica la parte interna di $D.$

Per l'esistenza della funzione inversa è sufficiente che la funzione sia strettamente monotona nel suo dominio. Per la continuità della funzione inversa è sufficiente supporre che la funzione sia strettamente monotona su un intervallo.

La richiesta $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ è necessaria per garantire che l'espressione sia ben definita. Basti pensare, ad esempio, alla funzione $f(x)=x^3.$ La funzione è monotona strettamente crescente, ma la sua inversa non è derivabile in $x_0=0.$

Anche la richiesta che $f^{-1}(y)$ sia continua nel punto $y_0$ è necessaria. È infatti possibile (ma la costruzione non è semplicissima) costruire un esempio di una funzione $f:ℝ\to ℝ$ invertibile e con derivata in $0$ uguale a $1$, la cui inversa nel punto $f(0)$ non è continua (e quindi neppure derivabile).

Dimostrazione

Poniamo $y=f(x)$ e rispettivamente $y_0=f(x_0)$ per semplicità. Allora:

$D[f^{-1}](y_0)=\underset{y\to y_0}{\lim }\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}$

$D[f^{-1}](y_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}$

$D[f^{-1}](y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y_0))}.$

Esempio

Sia $f(x)=\tan (x)$, con $|x|<\frac{\pi }{2}$. Dunque $f^{-1}(y)=\arctan (y)$ e $D[\arctan (y)]=\frac{1}{D[\tan (x)]}=\frac{1}{1+(\tan x{)}^2}=\frac{1}{1+y^2}$.

Voci correlate

• Regole di derivazione