Regole di derivazione

Template:F In matematica, le regole di derivazione e le derivate fondamentali sono regole studiate per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale di funzioni, e utilizzate al fine di facilitare la derivazione di funzioni di maggiore complessità.

Regole di derivazione

Siano $f(x)$ e $g(x)$ funzioni reali di variabile reale $x$ derivabili, e sia $\mathrm{D}$ l'operazione di derivazione rispetto a $x$:

$\mathrm{D}[f(x)]=f^{\prime }(x),\mathrm{D}[g(x)]=g^{\prime }(x).$

• Regola della somma (linearità):

$\mathrm{D}[\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha f^{\prime }(x)+\beta g^{\prime }(x),\alpha ,\beta \in ℝ.$

• Regola del prodotto (o di Leibniz):

$\mathrm{D}[f(x)\cdot g(x)]=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x).$

• Regola del quoziente:

$\mathrm{D}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$

• Regola della funzione reciproca:

$\mathrm{D}\left[\frac{1}{f(x)}\right]=-\frac{f^{\prime }(x)}{f(x{)}^2}.$

• Regola della funzione inversa:

$\mathrm{D}[f^{-1}(x)]=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}.$

• Regola della catena:

$\mathrm{D}\left[f(g(x))\right]=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$

• Regola della potenza:

$\mathrm{D}[f(x{)}^{g(x)}]=f(x{)}^{g(x)}[g^{\prime }(x)\ln (f(x))+\frac{g(x)f^{\prime }(x)}{f(x)}].$

Derivate fondamentali

Ognuna di queste funzioni, se non altrimenti specificato, è derivabile in tutto il suo campo di esistenza.

Funzioni polinomiali

• $\mathrm{D}(a)=0,a\text{ costante}.$
• $\mathrm{D}(x)=1.$
• $\mathrm{D}(ax)=a,a\text{ costante}.$
• $\mathrm{D}(x^2)=2x.$
• $\mathrm{D}(x^3)=3x^2.$

Più in generale si ha:

• $\mathrm{D}(x^n)=n{x}^{n-1},\text{con }n\in \mathbb{N}.$

Template:Approfondimento Da quest'ultima relazione segue che se $f(x)$ è un polinomio generico di grado $n$, allora $D(f(x))$ è in generale un polinomio di grado $n-1$.Template:Approfondimento

Potenze, radici e valore assoluto

• $\mathrm{D}(x^{\alpha })=\alpha x^{\alpha -1},\text{con }\alpha \in ℝ.$
• $\mathrm{D}(\sqrt[2]{x})=\frac{1}{2\sqrt[2]{x}}.$
• $\mathrm{D}(\sqrt[n]{x^m})=\frac{m}{n}\sqrt[n]{x^{m-n}},\text{se }x>0.$
• $\mathrm{D}(|x|)=\frac{|x|}{x}=\frac{x}{|x|}.$

Funzioni logaritmiche ed esponenziali

• $\mathrm{D}({\log }_{b}x)=\frac{{\log }_b\mathrm{e}}{x}=\frac{1}{x\ln b}.$
• $\mathrm{D}(\ln x)=\frac{1}{x}.$

• $\mathrm{D}(e^x)={\mathrm{e}}^x.$
• $\mathrm{D}(a^x)=a^x\ln a.$
• $\mathrm{D}(x^x)=x^x(1+\ln x).$

Funzioni goniometriche

• $\mathrm{D}(\sin x)=\cos x.$

• $\mathrm{D}(\cos x)=-\sin x.$

• $\mathrm{D}(\tan x)=1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

• $\mathrm{D}(\cot x)=-(1+{\cot }^{2}x)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$
• $\mathrm{D}(\sec x)=\tan x\sec x.$
• $\mathrm{D}(\csc x)=-\cot x\csc x.$
• $\mathrm{D}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

• $\mathrm{D}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

• $\mathrm{D}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}.$
• $\mathrm{D}(\mathrm{arccot}x)=\frac{-1}{1+x^2}.$
• $\mathrm{D}(\mathrm{arcsec}x)=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$
• $\mathrm{D}(\mathrm{arccsc}x)=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$

Funzioni iperboliche

• $\mathrm{D}(\sinh x)=\cosh x.$
• $\mathrm{D}(\cosh x)=\sinh x.$
• $\mathrm{D}(\tanh x)=1-{\tanh }^{2}x=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}.$
• $\mathrm{D}(\text{coth}x)=-{\text{csch}}^{2}x.$
• $\mathrm{D}(\text{sech}x)=-\tanh x\text{sech}x.$
• $\mathrm{D}(\text{csch}x)=-\text{coth}x\text{csch}x.$
• $\mathrm{D}(\text{settsinh}x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$
• $\mathrm{D}(\text{settanh}x)=\frac{1}{1-x^2}.$
• $\mathrm{D}(\text{settcoth}x)=\frac{1}{1-x^2}.$
• $\mathrm{D}(\text{settsech}x)=\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}.$
• $\mathrm{D}(\text{settcsch}x)=\frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}.$

Derivate di funzioni composte

• $\mathrm{D}(|f(x)|)=f^{\prime }(x)\frac{f(x)}{|f(x)|}=f^{\prime }(x)\frac{|f(x)|}{f(x)}.$
• $\mathrm{D}([f(x){]}^n)=n\cdot f(x{)}^{n-1}\cdot f^{\prime }(x).$
• $\mathrm{D}(\ln f(x))=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}.$
• $\mathrm{D}(\ln |f(x)|)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}.$
• $\mathrm{D}({\mathrm{e}}^{f(x)})={\mathrm{e}}^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x).$
• $\mathrm{D}(a^{f(x)})=a^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)\cdot \ln a.$
• $\mathrm{D}(\sin f(x))=\cos f(x)\cdot f^{\prime }(x).$
• $\mathrm{D}(\cos f(x))=-\sin f(x)\cdot f^{\prime }(x).$
• $\mathrm{D}(\tan f(x))=\frac{f^{\prime }(x)}{{\cos }^{2}f(x)}.$
• $D(\arcsin f(x))=\frac{f^{\prime }(x)}{\sqrt{1-[f(x){]}^2}}.$
• $D(\arccos f(x))=\frac{-f^{\prime }(x)}{\sqrt{1-[f(x){]}^2}}.$
• $D(\arctan f(x))=\frac{f^{\prime }(x)}{1+[f(x){]}^2}.$
• $D(f(x{)}^{g(x)})=f(x{)}^{g(x)}\cdot [g^{\prime }(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}].$

• $D(x^{f(x)})=x^{f(x)}\cdot [f^{\prime }(x)\cdot \ln x+\frac{f(x)}{x}].$

Voci correlate

• Metodi di integrazione