Quadripotenziale

Il quadripotenziale è il potenziale associato al campo elettromagnetico in relatività ristretta: si tratta di una funzione a valori vettoriali che risulta invariante rispetto a delle particolari trasformazioni, chiamate trasformazioni di Lorentz.

Il quadripotenziale è un vettore a quattro componenti, di cui la prima è il potenziale elettrico e le restanti sono le tre componenti del potenziale vettore magnetico, ed è un campo di gauge, ovvero possiede gradi di libertà ridondanti (da cui segue che differenti campi possono descrivere la stessa situazione fisica). Nel gauge di Lorenz, in particolare, è un quadrivettore, dal momento che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni di Lorentz.

Definizione

Il quadripotenziale elettromagnetico è definito come:

$A^{\alpha }=(\frac{\varphi }{c},𝐀)$

in cui $\varphi$ è il potenziale elettrico ed $𝐀$ il potenziale magnetico.

L'unità di misura di $A^{\alpha }$ è volt·secondo/metro nel SI, e Maxwell/centimetro nel sistema di Gauss. Il campo elettrico ed il campo magnetico associati al quadripotenziale sono:

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}$

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

Al fine di soddisfare le condizioni imposte dalla relatività speciale i campi devono essere scritti in forma tensoriale, in modo che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispettino le trasformazioni di Lorentz.

Il tensore elettromagnetico è definito a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:

$F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$

Si tratta di un tensore antisimmetrico la cui traccia è nulla.

Gauge di Lorenz

Template:Vedi anche Nel gauge di Lorenz ${\partial }_{\alpha }{A}^{\alpha }=0$ in un sistema di riferimento inerziale, l'equazione delle onde per i campi è data da:

$◻A^{\alpha }={\mu }_0{J}^{\alpha }(◻A^{\alpha }=\frac{4\pi }{c}{J}^{\alpha })$

dove $J^{\alpha }$ sono le componenti della quadricorrente, e:

$◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2$

è l'operatore di d'Alembert. Esplicitamente:

$◻\varphi =\frac{\rho }{{\epsilon }_0}(◻\varphi =4\pi \rho )$

$◻𝐀={\mu }_0𝐣(◻𝐀=\frac{4\pi }{c}𝐣)$

Le equazioni di Maxwell espresse in termini dei potenziali scalare e vettore assumono di conseguenza la forma:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi +\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

$({\mathrm{\nabla }}^2𝐀-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2})-\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi }{\partial t})=-{\mu }_0𝐉$

Per una data distribuzione di carica $\rho (𝐱,t)$ e corrente $𝐣(𝐱,t)$ le soluzioni nel SI delle precedenti equazioni sono i potenziali ritardati:

$\varphi (𝐱,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int {\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }\frac{\rho ({𝐱}^{\prime },\tau )}{|𝐱-{𝐱}^{\prime }|}$

$𝐀(𝐱,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int {\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }\frac{𝐣({𝐱}^{\prime },\tau )}{|𝐱-{𝐱}^{\prime }|}$

dove:

$\tau =t-\frac{|𝐱-{𝐱}^{\prime }|}{c}$

è il tempo ritardato.

Bibliografia

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Voci correlate

• Campo elettrico
• Campo elettromagnetico
• Campo magnetico
• Covarianza di Lorentz
• Gauge di Lorenz
• Potenziale vettore magnetico
• Potenziali ritardati
• Quadrivettore
• Quadricorrente
• Spaziotempo di Minkowski
• Teoria del potenziale
• Trasformazione di Lorentz

Collegamenti esterni

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