Operatore di d'Alembert

L'operatore di d'Alembert (rappresentato con un quadrato: $◻$), anche chiamato operatore dalembertiano dal nome di Jean Baptiste Le Rond d'Alembert oppure operatore delle onde, è l'estensione dell'operatore di Laplace nello spazio di Minkowski e di altre soluzioni delle equazioni di Einstein. È impiegato nella teoria delle onde, nell'elettromagnetismo e nella relatività speciale e generale.

In meccanica classica l'operatore dalembertiano si scrive:

$◻=\underset{x}{\overset{2}{\partial }}+\underset{y}{\overset{2}{\partial }}+\underset{z}{\overset{2}{\partial }}-\frac{1}{v^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}={\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{v^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}$

dove v è la velocità dell'onda e ${\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\Delta }$ è l'operatore di Laplace. Nella relatività ristretta il dalembertiano prende la forma:

$◻={\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu }={\eta }^{\nu \mu }{\partial }_{\nu }{\partial }_{\mu }=-\underset{0}{\overset{2}{\partial }}+\underset{1}{\overset{2}{\partial }}+\underset{2}{\overset{2}{\partial }}+\underset{3}{\overset{2}{\partial }}=\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}$

dove $\mathrm{\Delta }$ è il laplaciano ed ${\eta }^{\mu \nu }$ è il tensore metrico dello spazio-tempo di Minkowski con la segnatura $(-1,1,1,1)$. È immediato verificare che il dalembertiano è un operatore invariante sotto trasformazioni di Lorentz e perciò non varia le proprietà di trasformazione dei tensori a cui è applicato.

Altre notazioni

Oltre al simbolo $◻$ (quadrato) è spesso usato per l'operatore d'Alembertiano anche il simbolo ${\mathrm{\Delta }}_{𝐌}$, in analogia con il laplaciano ($𝐌$ sta ad indicare lo spazio di Minkowski), oppure il simbolo ${◻}^2$. A volte $◻$ è usato per rappresentare la derivata covariante quadri-dimensionale di Levi-Civita. Il simbolo $\mathrm{\nabla }$ (nabla) è usato invece per rappresentare le derivate spaziali, ma dipendente dalle coordinate.

Un altro modo per scrivere l'operatore d'Alembertiano è ${\partial }^2$. La notazione è comoda in teoria quantistica dei campi dove le derivate parziali sono di solito indicizzate.

Voci correlate

• Operatore differenziale
• Operatore Nabla
• Operatore di Laplace
• Onda elettromagnetica
• Teoria della relatività ristretta

Collegamenti esterni

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