Gauge di Lorenz

Nell'ambito della teoria di gauge, il gauge di Lorenz è la scelta dei potenziali del campo elettromagnetico tali da soddisfare la condizione (detta condizione di Lorenz):

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi }{\partial t}=0$

dove $𝐀$ è il potenziale magnetico e $\phi$ il potenziale elettrico.

Tale condizione ha la proprietà di essere Lorentz invariante e di rispettare i gradi di libertà forniti dalle trasformazioni di gauge: se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz. La condizione di Lorenz è una proprietà imposta al potenziale elettromagnetico utilizzata nel calcolo di campi elettromagnetici variabili nel tempo attraverso i potenziali ritardati.

Tale scelta appare particolarmente conveniente in elettrodinamica nella soluzione delle equazioni di Maxwell, ed in particolare nel calcolo dei potenziali ritardati e nello studio della propagazione delle onde elettromagnetiche. Tale condizione nella scelta della gauge si estende anche ad altri campi vettoriali, come il campo di Yang-Mills.

Questa scelta di gauge prende il nome dal fisico Ludvig Lorenz, da non confondere con il più noto Hendrik Lorentz.

Descrizione

La condizione di Lorenz:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi }{\partial t}=0$

può essere scritta in notazione tensoriale:

${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }\equiv {\partial }^{\mu }{A}_{\mu }=0$

dove $A^{\mu }$ è il potenziale elettromagnetico.

Si può dimostrare che nell'ambito di questo gauge le equazioni del potenziale elettromagnetico possono essere espresse in forma simmetrica:

$◻𝐀=[\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2]𝐀={\mu }_0𝐉$

$◻\phi =[\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2]\phi =\frac{1}{{\epsilon }_0}\rho$

dove $c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$ è la velocità della luce nel vuoto e $◻$ l'operatore d'Alembertiano. Tali relazioni valgono tuttavia anche in mezzi polarizzati se $\rho$ e $𝐉$ sono le densità sorgenti dei campi $𝐄$ e $𝐁$ calcolate a partire dai potenziali $\phi$ ed $𝐀$ attraverso le definizioni di campo elettrico e campo magnetico a partire dai loro potenziali:

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

Le soluzioni esplicite per i potenziali sono uniche se è posto che si annullino all'infinito sufficientemente rapidamente, e sono le equazioni di ritardo:

$\mathrm{\phi }(𝐫,𝑡)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime },{𝑡}_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{\tau }^{\prime }$

$𝐀(𝐫,𝑡)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐉({𝐫}^{\prime },{𝑡}_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{\tau }^{\prime }$

Bibliografia

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Voci correlate

• Equazioni di Jefimenko
• Equazioni di Maxwell
• Forza di Lorentz
• Potenziali ritardati
• Potenziale di Liénard-Wiechert
• Quadrivettore