Misura a valori di proiettore

In matematica, in particolare in analisi funzionale, una misura a valori di proiettore è una funzione definita su un certo sottoinsieme di un insieme fissato i cui valori restituiti sono proiettori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert.

Le misure a valori di proiettore sono usate per esprimere i risultati della teoria spettrale, come il teorema spettrale per operatori autoaggiunti.

Definizione

Sia $\mathrm{\Omega }$ un sottoinsieme chiuso di $ℝ$. Si definisce misura a valori di proiettore un insieme di proiezioni ortogonali $\{P_{\mathrm{\Omega }}\}$ che soddisfa le proprietà:

• $P_{\mathrm{\varnothing }}=0$ e $P_{(-a,a)}=I$ per qualche $a$.

• Sia $\mathrm{\Omega }$ una famiglia di insiemi tale che:

$\mathrm{\Omega }=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Omega }}_i{\mathrm{\Omega }}_i\cap {\mathrm{\Omega }}_j=\mathrm{\varnothing }i\ne j$

allora si ha:

$P_{\mathrm{\Omega }}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^N{P}_{{\mathrm{\Omega }}_i}$

dove il limite è in senso forte.

Si tratta di una misura limitata, e dalla definizione segue l'ulteriore proprietà:

$P_{{\mathrm{\Omega }}_1}{P}_{{\mathrm{\Omega }}_2}=P_{{\mathrm{\Omega }}_1\cap {\mathrm{\Omega }}_2}$

Se si considera uno spazio topologico $X$ sul quale è definita una sigma-algebra di Borel $M$, una misura a valori di proiettore è una funzione $P_{\mathrm{\Omega }}$ definita su $M$ ed a valori nello spazio dei proiettori ortogonali definiti su uno spazio di Hilbert di dimensione finita $H$. In tal caso gli insiemi $\{{\mathrm{\Omega }}_i\}$ utilizzati nella definizione sono gli elementi della sigma-algebra di Borel $M$, e si ha $P_X=I$.

Ad esempio, si consideri lo spazio di Hilbert $H=L^2(X,\mu )$, dove $\mu$ è una misura di Borel. Si può definire una misura a valori di proiettore nel seguente modo:

$(P_E\psi )(x)={\chi }_E(x)\psi (x)\mathrm{\forall }\psi \in L^2(X,\mu )\mathrm{\forall }E\in M$

per quasi ogni $x$.

Integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettore

Sia data una famiglia di insiemi misurabili mutuamente disgiunti $E_i$ ed una funzione semplice:

$s=\sum _{i=1}^n{a}_i{\chi }_{E_i}{a}_i\in ℂ$

dove ${\chi }_{E_i}$ è la funzione indicatrice relativa all'insieme $E_i$ per ogni i ed i numeri $a_i$ sono disgiunti.

Si può definire l'integrale di $s$ rispetto ad una misura a valori di proiettore $P$ nel seguente modo:

$\underset{X}{\int }sdP:=\sum _{i=1}^n{a}_{i}P(E_i)$

Si dimostra che l'estensione di tale operatore integrale dallo spazio delle funzioni semplici allo spazio di Banach delle funzioni $f:X\to ℂ$ limitate e misurabili rispetto alla sigma algebra di Borel $M$ è unica. Si definisce in questo modo l'operatore integrale positivo:

$\underset{E}{\int }f(x)dP(x):=\underset{X}{\int }{\chi }_{E}f(x)dP(x)E\in M$

rispetto alla misura a valori di proiettore $P$:

$P_E=\underset{X}{\int }{\chi }_{E}dP(x)$

Detto inoltre $\text{supp}(P)$ il supporto di $P$, si dimostra che:

$\underset{X}{\int }f(x)dP(x)=\underset{\text{supp}(P)}{\int }f(x)dP(x)$

Misura associata ad un operatore

Sia $X$ uno spazio topologico sul quale è definita una sigma-algebra di Borel $M$, sia $H$ uno spazio di Hilbert e $P$ una misura a valori di proiettore. Per ogni $\varphi ,\psi \in H$ il prodotto interno:

${\mu }_{\varphi ,\psi }(E):=(\varphi ,P_E\psi )=(\varphi ,\underset{X}{\int }{\chi }_{E}dP(x)\psi )E\in M$

rappresenta una misura di Borel complessa. In particolare, la misura ${\mu }_{\varphi }:={\mu }_{\varphi ,\varphi }$ viene detta misura spettrale associata a $\varphi$.

Attraverso una misura del tipo di ${\mu }_{\varphi }$ si può definire l'operatore di integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettore anche nel caso in cui $f$ non sia limitata, a patto di utilizzare l'insieme:

${\mathrm{\Delta }}_f:=\{\varphi \in H:\underset{X}{\int }|f(x){|}^{2}d{\mu }_{\varphi }(x)<+\mathrm{\infty }\}$

come dominio dell'applicazione:

$\underset{X}{\int }f(x)dP(x):\varphi \to \underset{X}{\int }f(x)dP(x)\varphi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_n(x)dP(x)\varphi$

che definisce in questo modo un operatore lineare chiuso e limitato, che è l'integrale di $f$ rispetto a $P$. L'insieme ${\mathrm{\Delta }}_f$ è un sottospazio denso in $H$, ed il secondo membro è caratterizzato dal fatto che la funzione $f$ può essere vista come il limite di una successione $f_n$ di funzioni misurabili e limitate convergente nella norma di $L^2(X,{\mu }_{\varphi })$.

Sia $f$ una funzione definita sul supporto di $P$ tale che sia inoltre limitata e misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel. Per il teorema di rappresentazione di Riesz esiste un unico operatore:

$B:=\int f(\lambda )d{P}_{\lambda }$

che soddisfa la relazione:

$(\varphi ,B\varphi )=\int f(\lambda )d{\mu }_{\varphi }=\int f(\lambda )d(\varphi ,P_{\lambda }\varphi )\mathrm{\forall }\varphi \in H$

dove $d{\mu }_{\varphi }=d(\varphi ,P_{\lambda }\varphi )$ denota l'integrazione rispetto alla misura ${\mu }_{\varphi }=(\varphi ,P\varphi )$.

Decomposizione spettrale di operatori normali e autoaggiunti

Template:Vedi anche Sia $A$ un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert $H$. Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore $P^A$ tale per cui:

$A=\underset{\sigma (A)}{\int }zd{P}^A(x,y)z:=(x,y)\to x+iy\in ℂ(x,y)\in {ℝ}^2$

dove $\sigma (A)=\text{supp}(P^A)$ è lo spettro di $A$. Si dice che $P^A$ è la misura a valori di proiettore associata ad $A$.

In particolare, se $A$ è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

$P^A(\mathrm{\Omega })={\chi }_{\mathrm{\Omega }}(A)$

definita sullo spettro $\sigma (A)$ di $A$. Tale misura può essere univocamente associata ad $A$ nel seguente modo:

$(\varphi ,f(A)\psi ):=\underset{\sigma (A)}{\int }f(\lambda )d(\varphi ,P^A(\lambda )\psi )\mathrm{\forall }\varphi ,\psi \in H$

per ogni funzione misurabile limitata $f$, e in tal caso si ha:

$A=\underset{\sigma (A)}{\int }\lambda d{P}^{A}f(A)=\underset{\sigma (A)}{\int }f(\lambda )d{P}^A$

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di $A$.

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) $A$ a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare $A$ tramite una misura a valori di proiettore limitata $P^A$ allora $P^A$ è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad $A$. Ogni operatore limitato autoaggiunto $A$ può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata $P^A$.

Operatori autoaggiunti non limitati

Template:Vedi anche Si consideri un operatore autoaggiunto $A$ non limitato. Attraverso la trasformata di Cayley $U(A)$ associata ad $A$:

$U(A)=(A-𝐢I)(A+𝐢I{)}^{-1}A=𝐢(I+U(A))(I-U(A){)}^{-1}$

è possibile definire, a partire da $A$, una misura a valori di proiettore $P^{U(A)}$ nel modo seguente:

$P^A(\mathrm{\Omega }):=P^{U(A)}(U(\mathrm{\Omega }))\mathrm{\Omega }\subset \sigma (A)$

L'insieme $\mathrm{\Omega }$ è un borelliano contenuto nello spettro (reale) $\sigma (A)$ di $A$, e $U(\mathrm{\Omega })$ è il risultato ottenuto applicando la trasformata di Cayley su $ℂ$.

Si dimostra che se la funzione identità, definita su $\sigma (A)$, è di classe $L^2$ rispetto alla misura $(x,P^A(\mathrm{\Omega })x)$, allora $P^{U(A)}$ definisce una misura a valori di proiettore su $\sigma (A)$.

In particolare, è possibile scrivere:

$A=\underset{\sigma (A)}{\int }\lambda d{P}^A(\lambda )$

Anche nel caso di $A$ non limitato la corrispondenza tra $A$ ed una misura a valori di proiettore è biunivoca.

Proiezioni e spettro di un operatore

Template:Vedi anche Le proiezioni spettrali sono uno strumento che permette di caratterizzare le proprietà dello spettro $\sigma (A)$ di un operatore autoaggiunto $A$. In primo luogo si dimostra che un numero $\lambda$ appartiene a $\sigma (A)$ se e solo se per ogni $\epsilon >0$ è soddisfatta la seguente condizione:

$P_{(\lambda -\epsilon ,\lambda +\epsilon )}(A)\ne 0$

Un tale approccio permette inoltre di suddividere lo spettro in due sottoinsiemi:

• Lo spettro essenziale di $A$ è l'insieme ${\sigma }_{ess}(A)$ dei numeri $\lambda$ tali per cui per ogni $\epsilon >0$ il rango di $P_{(\lambda -\epsilon ,\lambda +\epsilon )}(A)$ ha dimensione infinita. Si dimostra che tale insieme è chiuso. In modo equivalente, $\lambda$ appartiene a ${\sigma }_{ess}(A)$ se e solo se è un autovalore che ha molteplicità infinita.

• Si definisce spettro discreto di $A$ l'insieme ${\sigma }_{disc}(A)$ dei numeri $\lambda$ tali per cui per ogni $\epsilon >0$ il rango di $P_{(\lambda -\epsilon ,\lambda +\epsilon )}(A)$ ha dimensione finita. In modo equivalente, $\lambda$ appartiene a ${\sigma }_{disc}(A)$ se e solo se è un punto isolato di $\sigma (A)$ ed è un autovalore che ha molteplicità finita.

Estensioni delle misure a valori di proiettore

Se $\pi$ è una misura a valori di proiettore su $(X,M)$, allora la mappa:

${\mathrm{𝟏}}_A\mapsto \pi (A)$

estende a mappa lineare su uno spazio vettoriale di funzioni gradino su $X$.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:En G. W. Mackey, The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
• Template:En G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, [1], American Mathematical Society, 2009.
• Template:En V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.

Voci correlate

• Misura (matematica)
• Misura di Borel
• Operatore autoaggiunto
• Proiezione ortogonale
• Spettro (matematica)
• Teorema di rappresentazione di Riesz
• Teorema spettrale