Spettro essenziale

In matematica, lo spettro essenziale di un operatore limitato è un sottoinsieme dello spettro.

Operatori limitati

Sia $X$ uno spazio di Banach e $T$ un operatore limitato definito su $X$. In letteratura vi sono diverse definizioni di spettro essenziale, che non sono equivalenti tra loro (ma coincidono nel caso di un operatore autoaggiunto):

• Lo spettro essenziale ${\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},\mathrm{1}}(T)$ è l'insieme dei numeri $\lambda$ tali che $\lambda I-T$ non è un operatore semi-Fredholm, ovvero un operatore caratterizzato dal possedere nucleo o conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
• Lo spettro essenziale ${\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},\mathrm{2}}(T)$ è l'insieme dei numeri $\lambda$ tali che $\lambda I-T$ non ha immagine chiusa oppure il suo nucleo ha dimensione infinita.
• Lo spettro essenziale ${\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},\mathrm{3}}(T)$ è l'insieme dei numeri $\lambda$ tali che $\lambda I-T$ non è un operatore di Fredholm, ovvero un operatore caratterizzato dal possedere nucleo e conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
• Lo spettro essenziale ${\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},\mathrm{4}}(T)$ è l'insieme dei numeri $\lambda$ tali che $\lambda I-T$ non è un operatore di Fredholm tale che la dimensione del nucleo e del conucleo non siano coincidenti.
• Lo spettro essenziale ${\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},\mathrm{5}}(T)$ è l'unione di ${\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},\mathrm{1}}(T)$ e tutte le componenti di $ℂ\setminus {\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},\mathrm{1}}(T)$ che non intersecano l'insieme risolvente $ℂ\setminus \sigma (T)$.

Lo spettro essenziale è sempre chiuso, indipendentemente dalla definizione usata, e si ha:

${\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},1}(T)\subset {\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},2}(T)\subset {\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},3}(T)\subset {\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},4}(T)\subset {\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},5}(T)\subset \sigma (T)\subset 𝐂$

Il raggio spettrale dello spettro essenziale è dato da:

$r_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},k}(T)=\max \{|\lambda |:\lambda \in {\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},k}(T)\}$

Lo spettro essenziale di un operatore $T$ è invariante se a $T$ si somma un operatore compatto per k = 1,2,3,4, ma non per k = 5. Il caso k = 4, in particolare, fornisce la parte di spettro che è indipendente dalla perturbazione di un operatore compatto:

${\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s},4}(T)=\bigcap _{K\in K(X)}\sigma (T+K)$

dove $K(X)$ è l'insieme degli operatori compatti in $X$.

Operatori limitati autoaggiunti

Template:Vedi anche Sia $X$ uno spazio di Hilbert e $T$ un operatore limitato autoaggiunto definito su $X$. Lo spettro essenziale ${\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}(T)$ di $T$ è l'insieme dei numeri complessi $\lambda$ tali che:

$\lambda I-T$

non è un operatore di Fredholm. Si tratta sempre di un insieme chiuso che è un sottoinsieme dello spettro, in tal caso contenente solo valori reali data la natura dell'operatore considerato (autoaggiunto).

Se $K$ è un operatore compatto su $X$, allora lo spettro essenziale di $T$ e $T+K$ coincidono.

Il criterio di Weyl afferma che $\lambda$ è nello spettro di $T$ se esiste una successione $\{{\psi }_k\}$ in $X$ tale che $\Vert {\psi }_k\Vert =1$ e:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert T{\psi }_k-\lambda {\psi }_k\Vert =0$

mentre $\lambda$ è nello spettro essenziale se la successione $\{{\psi }_k\}$ non contiene nessuna sottosuccessione convergente (questo si verifica, ad esempio, se $\{{\psi }_k\}$ è ortonormale e tale successione viene detta successione singolare.

Il complementare dello spettro essenziale di $T$ è lo spettro discreto ${\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{r}}(T)$:

${\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{r}}(T)=\sigma (T)\setminus {\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}(T)$

e $\lambda \in {\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{r}}(T)$ se è un autovalore isolato con molteplicità finita, ovvero la dimensione di:

$\{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}$

è finita e non nulla. Inoltre, esiste un $ϵ>0$ tale che se e solo se $\mu \in \sigma (T)$ e $|\mu -\lambda |<ϵ$ allora $\mu =\lambda$.

Bibliografia

• Template:En Template:Cita libro
• Template:En D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• Template:De H. Weyl (1910), Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Mathematische Annalen 68, 220–269.

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Operatore autoaggiunto
• Operatore compatto
• Operatore di Fredholm
• Operatore limitato
• Operatore lineare continuo
• Shift unilaterale
• Spettro (matematica)
• Teorema spettrale
• Teoria spettrale