Funzione subarmonica

In matematica, i concetti di funzione subarmonica e funzione superarmonica identificano un'importante classe di funzioni utilizzate nello studio delle equazioni alle derivate parziali, in analisi complessa e nella teoria del potenziale.

Dati $G\subset {ℝ}^n$ e una funzione semicontinua superiormente:

$\phi :G\to ℝ\cup \{-\mathrm{\infty }\}$

la funzione $\phi$ è subarmonica se per ogni palla chiusa $\overline{B(x,r)}\subset G$ con centro in $x$ e raggio $r$, e per ogni funzione continua a valori reali $h$ definita su $\overline{B(x,r)}$ che è una funzione armonica in $B(x,r)$ e soddisfa $\phi (y)\le h(y)$ per ogni $y$ sulla frontiera $\partial B(x,r)$ di $B(x,r)$, allora quest'ultima disuguaglianza può essere estesa a tutta la palla:

$\phi (y)\le h(y)\mathrm{\forall }y\in B(x,r)$

Una funzione $u$ è detta superarmonica se $-u$ è subarmonica.

Proprietà

• Una funzione è armonica se e solo se è sia subarmonica che superarmonica.
• Se $\varphi$ è di classe $C^2$ su un aperto $G$ in ${ℝ}^n$, allora $\varphi$ è subarmonica se e solo se si verifica $\mathrm{\Delta }\varphi \ge 0$ su $G$, dove $\mathrm{\Delta }$ è l'operatore di Laplace.
• Il massimo di una funzione subarmonica non può essere raggiunto nei punti interni del suo dominio, a meno che non si tratti di una funzione costante, come stabilisce il principio del massimo. Il minimo, tuttavia, si può trovare anche all'interno del dominio.
• Le funzioni subarmoniche formano un cono convesso, ovvero una combinazione lineare di funzioni subarmoniche con coefficienti positivi è subarmonica.
• Il limite di una successione decrescente di funzioni subarmoniche è subarmonico (oppure identicamente uguale a $-\mathrm{\infty }$).

Bibliografia

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Voci correlate

• Funzione armonica
• Funzione semicontinua
• Insieme polare (teoria del potenziale)

Collegamenti esterni

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