Insieme polare (teoria del potenziale)

In matematica, in particolare nell'ambito della teoria del potenziale, un insieme polare è un insieme $Z$ in ${ℝ}^n$ (con $n\ge 2$) tale per cui esiste una funzione subarmonica non-costante $u:G\to {ℝ}^n\cup \{-\mathrm{\infty }\}$, con $G\subset {ℝ}^n$, che assume valore $-\mathrm{\infty }$ solo nei punti di $Z$:

$Z\equiv \{x:u(x)=-\mathrm{\infty }\}$

Viene anche definito come un insieme $Z$ tale per cui esiste un potenziale $U_{\mu }$, con $\mu$ una misura di Borel, che assume valore $-\mathrm{\infty }$ solo nei punti di $Z$.

Proprietà

• Un singleton in ${ℝ}^n$ è un insieme polare.
• Un insieme numerabile in ${ℝ}^n$ è polare.
• L'unione di una collezione numerabile di insiemi polari è un insieme polare.
• La misura di Lebesgue di un insieme polare in ${ℝ}^n$ è nulla.

Bibliografia

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Voci correlate

• Funzione subarmonica

Collegamenti esterni

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