Funzione càdlàg

Le funzioni di ripartizione sono un esempio di funzioni càdlàg

In matematica, una funzione càdlàg (acronimo dal francese continue à droite, limitée à gauche, che significa continua a destra, limitata a sinistra; in italiano scritto talvolta cadlag) è una funzione di variabile reale che sia in ogni punto continua da destra e possegga limite sinistro finito.

Funzioni càdlàg emergono naturalmente come funzioni di ripartizione. Compaiono quindi nello studio dei processi stocastici che ammettono traiettorie con discontinuità di prima specie.

Esempi

• Tutte le funzioni continue sono naturalmente càdlàg.
• Tutte le funzioni di ripartizione sono càdlàg.

Spazio di Skorokhod

Lo spazio di tutte le funzioni càdlàg su un certo dominio $E$ a valori nello spazio metrico $M$ viene detto spazio di Skorokhod. Esso si denota con $D(E;M)$. Tale spazio può essere munito di una topologia. Per semplicità, consideriamo come dominio l'intervallo $[0,T]$ con $T$ finito e come codominio lo spazio euclideo reale.

Dobbiamo prima definire un analogo del modulo di continuità. Per ogni $F\subseteq E$, sia

$w_f(F):=\underset{s,t\in F}{\sup }|f(s)-f(t)|$

l'oscillazione di $f$ su $F$; per $\delta >0$, definiamo allora il modulo càdlàg come

$\varpi {\text{'}}_f(\delta ):=\underset{\mathrm{\Pi }}{\inf }\underset{1\le i\le k}{\max }{w}_f([t_{i-1},t_i)),$

dove l'estremo inferiore è fatto su tutte le partizioni $\mathrm{\Pi }$ dell'intervallo $E$ con mesh minore di $\delta$. Si può provare che $f$ è càdlàg se e solo se $\varpi {\text{'}}_f(\delta )\to 0$ quando $\delta \to 0$.

Definiamo dunque la distanza di Skorokhod come

$\sigma (f,g):=\underset{\lambda }{\inf }\max \{\Vert \lambda -i{d}_E{\Vert }_{\mathrm{\infty }},\Vert f-g\circ \lambda {\Vert }_{\mathrm{\infty }}\}$,

dove $i{d}_E$ è l'identità di $E$, $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ è la norma uniforme e $\lambda$ varia sull'insieme di tutte le biiezioni continue strettamente monotone su $E$. Si dimostra che effettivamente $\sigma$ è una metrica. La topologia indotta è detta topologia di Skorokhod.

Intuitivamente, il termine $\Vert \lambda -i{d}_E{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ misura la "distorsione nel tempo" e il termine $\Vert f-g\circ \lambda {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ la "distorsione nello spazio".

Proprietà

Lo spazio $D(E;M)$ contiene lo spazio $C(E;M)$ delle funzioni continue. Su tale sottospazio la topologia di Skorokhod e la topologia uniforme coincidono.

La metrica $\sigma$ non rende lo spazio di Skorokhod completo; tuttavia esiste una metrica equivalente a $\sigma$ per cui ciò è vero. Tale metrica (e dunque anche $\sigma$) rende inoltre $D(E;M)$ uno spazio separabile e quindi uno spazio polacco.

Come applicazione del teorema di Ascoli, si può mostrare che una successione di misure di probabilità su $D$ è tight se solo se sono verificate le seguenti due condizioni:

• $\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\mu }_n\{f\in D|\Vert f\Vert \ge a\}=0,$
• $\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\mu }_n\{f\in D|\varpi {\text{'}}_f(\delta )\ge \epsilon \}=0$

con la seconda valida per ogni $\epsilon >0$.

Bibliografia

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2.

Voci correlate

• Funzione di ripartizione
• Funzione semicontinua
• Processo stocastico
• Anatoliy Skorokhod

Collegamenti esterni

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