Partizione di un intervallo

Template:F In matematica la partizione di un intervallo reale è un insieme di punti dell'intervallo che lo dividono in sottointervalli. Il concetto di partizione è usato per definire numerosi concetti come l'integrale di Riemann e la lunghezza di un arco.

Se l'intervallo è $I=[a,b]$ la partizione di $I$ è un insieme $\rho =\{t_i{\}}_{i=0}^n$

$\rho =\{t_i\in [a,b]:a=t_0<t_1<\dots <t_n=b\}$

La partizione dell'intervallo $I$ definisce in modo naturale dei sottointervalli di $I$, come ad esempio:

$I_0=[t_0,t_1),I_1=[t_1,t_2),\dots ,I_{n-1}=[t_{n-1},t_n)$

che costituiscono una particolare partizione dell'insieme $[a,b]$. Appare chiaro che le ampiezze dei singoli intervalli ($\mathrm{\Delta }{t}_i=t_{i+1}-t_i$) non devono necessariamente essere uguali.

Ampiezza di una partizione

L'ampiezza (o mesh) della partizione $\rho$ è definita come:

$|\rho |=\underset{1\le i\le n}{\max }\mathrm{\Delta }{t}_i=\underset{1\le i\le n}{\max }(t_{i+1}-t_i)$

L'ampiezza di una partizione è usata nelle somme di Riemann.

Relazioni tra partizioni

Due partizioni si possono anche confrontare: una partizione ${\pi }^{\prime }$ è più fine di un'altra $\pi$ se i punti di $\pi$ sono tutti presenti fra quelli di ${\pi }^{\prime }$, cioè se:

$\pi \subseteq {\pi }^{\prime }.$

Si dice che ${\pi }^{\prime }$ è un raffinamento di $\pi$. Inoltre è evidente che se si uniscono i punti di due partizioni la nuova partizione così ottenuta è più fine, o al minimo fine allo stesso modo, delle precedenti. Tale relazione si indica con ${\pi }^{\prime }\}\pi$. Ovviamente vale:

$|\rho ({\pi }^{\prime })|\le |\rho (\pi )|$

che giustifica il nome "raffinamento".

Esempio

Dato l'intervallo $[0,10]$ una partizione può essere $\{0,2,6,10\}$, un raffinamento $\{0,1,2,5,6,7,10\}$. L'ampiezza della prima partizione è 4, del raffinamento 3.

Voci correlate

• Integrale di Riemann
• Integrale di Riemann-Stieltjes