Funzione G di Barnes

In matematica, la funzione G di Barnes è una funzione speciale intera che costituisce una estensione a un dominio complesso della successione dei superfattoriali ed è collegata alla funzione Gamma e alla funzione K. Il suo nome ricorda il matematico inglese Ernest William Barnes (1874-1953) e solitamente viene denotata con $G (z)$ .

Definizione

Una possibile definizione della funzione $G$ di Barnes si serve del prodotto di Weierstrass:

G (z + 1) : = (2 π)^{\frac{z}{2}} e^{- \frac{1}{2} [z (z + 1) + γ z^{2}]} \prod_{n = 1}^{\infty} [{(1 + \frac{z}{n})}^{n} e^{- z + \frac{z^{2}}{2 n}}]

La $G (z)$ soddisfa l'equazione funzionale

G (z + 1) = Γ (z) G (z)

combinata con la condizione di normalizzazione $G (1) = 1$ . Questa equazione implica che la $G$ per argomenti interi assuma i seguenti valori:

G (n) = {\begin{matrix} 0 & se n = 0, - 1, - 2, \dots \\ \prod_{k = 0}^{n - 2} k! & se n = 1, 2, \dots \end{matrix}

e di conseguenza sia esprimibile come

G (n) = \frac{[Γ (n)]^{n - 1}}{K (n)},

qui, insieme alla funzione Gamma, compare la funzione K, per la quale si ha:

K (n) = 1^{1} \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \dots (n - 1)^{n - 1} .

Per $| z | < 1$ si ha il seguente sviluppo di Taylor

\ln G (1 + z) = \frac{1}{2} (\ln (2 π) - 1) - (1 - γ) \frac{z^{2}}{2} + \sum_{n = 3}^{\infty} (- 1)^{n - 1} ζ (n - 1) \frac{z^{n}}{n}

,

dove $ζ (s)$ denota la funzione zeta di Riemann.

Per la $G (x)$ si trovano i seguenti valori particolari:

G (1 / 4) = A^{- 9 / 8} {(Γ (1 / 4))}^{- 3 / 4} e^{3 / 32 - K / (4 π)};

G (3 / 4) = A^{- 9 / 8} {(Γ (3 / 4))}^{- 1 / 4} e^{3 / 32 + K / (4 π)};

G (1 / 2) = A^{- 3 / 2} π^{- 1 / 4} e^{1 / 8} 2^{1 / 24};

G (3 / 2) = A^{- 3 / 2} π^{1 / 4} e^{1 / 8} 2^{1 / 24};

G (5 / 2) = A^{- 3 / 2} π^{3 / 4} e^{1 / 8} 2^{- 23 / 24};

A : = e^{1 / 12 - ζ^{'} (- 1)} \approx 1, 2824262 . . .

Template:En E. W. Barnes, The theory of the double Gamma function, Phil. Trans. Roy. Soc., n. 196 A, 1901, pp. 265-387.