Superfattoriale

In matematica, esistono più definizioni di superfattoriale.

Definizione di Neil Sloane e Simon Plouffe

Secondo la definizione di Neil Sloane e Simon Plouffe data in The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995), si definisce superfattoriale di un numero naturale $n$ il prodotto dei numeri fattoriali dei numeri interi minori o uguali a tale numero:

$\mathrm{s}\mathrm{f}(n)\equiv \prod _{k=1}^{n}k!=1\cdot 2!\cdot 3!\cdots (n-1)!\cdot n!.$

I superfattoriali così definiti rappresentano la successione A000178 dell'OEIS.

Equivalentemente, il superfattoriale è dato dalla formula

$\mathrm{s}\mathrm{f}(n)=\prod _{0\le i<j\le n}(j-i),$

che è il determinante della matrice di Vandermonde.

Questa sequenza di superfattoriali comincia (da $n=0$) così:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ...

La generalizzazione del superfattoriale secondo la definizione di Neil Sloane e Simon Plouffe, per i numeri complessi, è rappresentata dalla funzione G di Barnes, poiché si ha

$\mathrm{s}\mathrm{f}(n)=G(n+2)\text{ per ogni numero intero }n$.

Definizione di Clifford A. Pickover

Un'altra definizione di superfattoriale, basata sull'operazione di tetrazione, è quella data nel 1995 da Clifford A. Pickover nel suo libro Keys to Infinity:

$n\mathrm{\$}\equiv \begin{array}{c}\underbrace{n{!}^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}}\\ n!\text{ volte}\end{array},$

ossia

$n\mathrm{\$}=n![4]n!,$

dove la notazione $[4]$ indica l'operatore di tetrazione, oppure usando la notazione a frecce di Knuth,

$n\mathrm{\$}=(n!)\uparrow \uparrow (n!).$

Questa sequenza di superfattoriali comincia così:

$1\mathrm{\$}=1;$

$2\mathrm{\$}=2^2=4;$

$3\mathrm{\$}=6[4]6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}};$

dove si deve intendere:

$a^{b^c}=a^{(b^c)}.$

Voci correlate

• Fattoriale
• Iperfattoriale
• Funzione G di Barnes
• Tetrazione

Collegamenti esterni

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