Costante di Catalan

Template:Costante In matematica, la costante di Catalan appare occasionalmente nelle stime in combinatorica ed è definita come

$\mathrm{K}=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+...,$

dove β è la funzione beta di Dirichlet. Il suo valore numerico approssimato è

K = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 ...

Non è noto se K sia un numero razionale o irrazionale.

Prende il nome dal matematico belga Eugène Charles Catalan.

Identità integrali

Alcune identità sono:

$K=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2{y}^2}dxdy$

$K=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}\text{ d}t$

$K=\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\frac{t}{\sin t\cos t}dt$

$K=\frac{1}{4}\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{t}{\sin t}dt$

$K=\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\ln (\cot (t))dt$

$K=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arctan (e^{-t})dt$

$K=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arctan t}{t}dt$

$K=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{K}(t)dt$

dove K(t) è un integrale ellittico completo della prima specie.

Utilità

K appare in combinatoria e come valore della seconda funzione poligamma, detta anche funzione trigamma, per argomenti frazionari:

${\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8K$

${\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)={\pi }^2-8K$

Simon Plouffe ha fornito un insieme infinito di identità tra la funzione trigamma, ${\pi }^2$ e la costante di Catalan; queste identità sono esprimibili come percorsi su un grafo.

Appare inoltre in riferimento alla distribuzione secante iperbolica.

Bibliografia

• Template:En Victor Adamchik, 33 rappresentazioni per la costante di Catalan' Template:Webarchive (non aggiornato)
• Template:En Victor Adamchik, Serie associate con la costante di Catalan Template:Webarchive, (2002) Zeitschrift fuer Analysis und ihre Anwendungen (ZAA), 21, pp.1-10.
• Template:En Simon Plouffe, Alcune identità (III) con la costante di Catalan Template:Webarchive, (1993) (Provides over one hundred different identities).
• Template:En Simon Plouffe, Alcune identità con la costante di Catalan e Pi^2 Template:Webarchive, (1999) (Offre un'interpretazione grafica della relazione)
• Template:En Greg Fee, Costante di Catalan (formula di Ramanujan) (1996) (Fornisce le prime 300,000 cifre della costante di Catalan.).

Collegamenti esterni

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