Funzione K

In matematica, la funzione K è una funzione speciale che costituisce una estensione a un dominio complesso della successione di interi chiamata iperfattoriale da Neil Sloane e Simon Plouffe, così come la funzione Gamma è una estensione complessa della successione dei fattoriali.

La funzione $K$ si può definire come

$K(z):=(2\pi {)}^{\frac{-z+1}{2}}\exp [\left(\begin{array}{c}z\\ 2\end{array}\right)+\underset{0}{\overset{z-1}{\int }}dt\ln (t!)].$

essa si può anche esprimere in forma chiusa come:

$K(z)=\exp [{\zeta }^{\prime }(-1,z)-{\zeta }^{\prime }(-1)]$

mediante derivate della funzione zeta di Riemann ${\zeta }^{\prime }(z)$ e della funzione zeta di Hurwitz $\zeta (a,z)$; qui si intende precisamente che sia

${\zeta }^{\prime }(a,z)\equiv {\left[\frac{d\zeta (s,z)}{ds}\right]}_{s=a}.$

La funzione $K$ è collegata strettamente alla funzione Gamma e alla funzione G di Barnes; per argomenti $n$ interi naturali si ha

$K(n)=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{G(n)}.$

Più concretamente possiamo scrivere

$K(n)=1^1{2}^2{3}^3\cdots (n-1{)}^{n-1}.$

La successione di questi valori, cioè la successione degli iperfattoriali, costituisce la sequenza A002109 della On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. I valori di questa successione relativi a $n=0,1,\dots ,10$ sono

1,  1,  4,  108,  27648,  86400000,  4031078400000,  3319766398771200000,

55696437941726556979200000,   21577941222941856209168026828800000,

215779412229418562091680268288000000000000000

Benoit Cloitre nel 2003 ha dimostrato che

$\frac{1}{K(n)}=(-1{)}^n\text{det}\left|\begin{array}{ccccc}-1& -1& -1& \cdots & -1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{8}& \cdots & \frac{1}{2^n}\\ -\frac{1}{3}& -\frac{1}{9}& -\frac{1}{27}& \cdots & -\frac{1}{3^n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{(-1{)}^n}{n}& \frac{(-1{)}^n}{n^2}& \frac{(-1{)}^n}{n^3}& \cdots & \frac{(-1{)}^n}{n^n}\end{array}\right|$

Voci correlate

• Fattoriale
• Iperfattoriale
• Funzione Gamma
• Funzione G di Barnes

Collegamenti esterni

• K-function in MathWorld