Formula di Minkowski-Steiner

In matematica, la formula di Minkowski-Steiner è una formula che mette in relazione l'area superficiale e il volume di sottoinsiemi compatti dello spazio euclideo. Più precisamente, essa definisce l'area superficiale come la "derivata" di un volume chiuso definito in modo opportuno.

La formula di Minkowski-Steiner è utilizzata, insieme al teorema di Brunn-Minkowski, per provare la disuguaglianza isoperimetrica. Essa porta il nome di Hermann Minkowski e Jakob Steiner.

Enunciato della formula di Minkowski-Steiner

Sia $n\ge 2$, e sia $A⊊{ℝ}^n$ un insieme compatto. Indichiamo con $\mu (A)$ la misura di Lebesgue (volume) di $A$. Definiamo la quantità $\lambda (\partial A)$ mediante la formula di Minkowski-Steiner

$\lambda (\partial A):=\underset{\delta \to 0}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{\mu (A+\overline{B_{\delta }})-\mu (A)}{\delta },$

dove

$\overline{B_{\delta }}:=\{x=(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n||x|:=\sqrt{x_1^2+\dots +x_n^2}\le \delta \}$

denota la palla chiusa di raggio $\delta >0$ e

$A+\overline{B_{\delta }}:=\{a+b\in {ℝ}^n|a\in A,b\in \overline{B_{\delta }}\}$

è la somma di Minkowski di $A$ e $\overline{B_{\delta }}$, in modo che

$A+\overline{B_{\delta }}=\{x\in {ℝ}^n||x-a|\le \delta \text{ per qualche }a\in A\}.$

Osservazioni

Misura superficiale

Per insiemi $A$ "sufficientemente regolari", la quantità $\lambda (\partial A)$ corrisponde effettivamente alla misura $(n-1)$-dimensionale della frontiera $\partial A$ di $A$. Consultare Federer (1969) per una piena trattazione di questo problema.

Insiemi convessi

Quando l'insieme $A$ è un insieme convesso, il limite inferiore scritto sopra è un vero limite, e si può dimostrare che

$\mu (A+\overline{B_{\delta }})=\mu (A)+\lambda (\partial A)\delta +\sum _{i=2}^{n-1}{\lambda }_i(A){\delta }^i+{\omega }_n{\delta }^n,$

dove i ${\lambda }_i$ sono funzioni continue di $A$ (vedere quermassintegral) e ${\omega }_n$ denota la misura (volume) della sfera unitaria in ${ℝ}^n$:

${\omega }_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(n/2+1)}=\frac{2{\pi }^{n/2}}{n\mathrm{\Gamma }(n/2)},$

dove $\mathrm{\Gamma }$ denota la funzione Gamma.

Esempio: volume e area superficiale di una sfera

Prendendo $A=\overline{B_R}$ si ottiene la seguente formula ben conosciuta valida per l'area superficiale della sfera di raggio $R$, $S_R:=\partial B_R$:

$\lambda (S_R)=\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{\mu (\overline{B_R}+\overline{B_{\delta }})-\mu \left(\overline{B_R}\right)}{\delta }$

$=\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{[(R+\delta {)}^n-R^n]{\omega }_n}{\delta }$

$=\frac{d}{dR}\left(R^n{\omega }_n\right)=n{R}^{n-1}{\omega }_n,$

dove ${\omega }_n$ è come indicato sopra.

Bibliografia

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Voci correlate

• Teorema di Brunn-Minkowski
• Sfera unitaria
• Ipersfera