Teorema di Brunn-Minkowski

In matematica, il teorema di Brunn-Minkowski (o disuguaglianza di Brunn-Minkowski) è una disuguaglianza che mette in relazione volumi (o, più in generale, misure di Lebesgue) di sottoinsiemi compatti di uno spazio euclideo. La versione originale del teorema di Brunn-Minkowski (Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) si applicava a insiemi convessi; la generalizzazione a insiemi compatti non convessi a cui ci riferiamo qui è dovuta a L. A. Lyusternik (1935).

Enunciato del teorema

Sia n ≥ 1 mentre μ denoti la misura di Lebesgue in Rⁿ. Siano A e B due sottoinsiemi compatti non vuoti di Rⁿ. Allora vale la seguente disuguaglianza:

$[\mu (A+B){]}^{1/n}\ge [\mu (A){]}^{1/n}+[\mu (B){]}^{1/n},$

dove A + B denota la somma di Minkowski:

$A+B:=\{a+b\in {ℝ}^n\mid a\in A,b\in B\}.$

Osservazioni

La dimostrazione del 'teorema di Brunn-Minkowski stabilisce che la funzione

$A\mapsto [\mu (A){]}^{1/n}$

è concava nel senso che, per ogni coppia di sottoinsiemi compatti non vuoti A e B di Rⁿ e per 0 ≤ t ≤ 1, si ha

${[\mu (tA+(1-t)B)]}^{1/n}\ge t[\mu (A){]}^{1/n}+(1-t)[\mu (B){]}^{1/n}.$

Per due insiemi convessi A e B, la disuguaglianza nel teorema è stretta per 0 < t < 1 salvo nel caso in cui A e B siano omotetici, ossia uguali per traslazione e trasformazioni in scala.

Bibliografia

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• Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1.
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• Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

Voci correlate

• Isoperimetria (Disuguaglianza isoperimetrica)
• Teorema di Milman (Disuguaglianza di Brunn-Minkowski inversa)
• Formula di Minkowski-Steiner
• Disuguaglianza di Prékopa-Leindler
• Teorema di Vitale (Disuguaglianza di Brunn-Minkowski casuale)