Distribuzione discreta uniforme

Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità una distribuzione discreta uniforme è una distribuzione di probabilità discreta che è uniforme su un insieme, ovvero che attribuisce la stessa probabilità ad ogni elemento dell'insieme discreto S su cui è definita (in particolare l'insieme dev'essere finito).

Un esempio di distribuzione discreta uniforme è fornito dal lancio di un dado equilibrato: ognuno dei valori 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ha eguale probabilità 1/6 di verificarsi.

Questa distribuzione di probabilità è quella che fornisce la classica definizione di probabilità "casi favorevoli su casi possibili": la probabilità di un evento $A\subset S$ è data dal rapporto tra le cardinalità dei due insiemi,

$P(A)=\frac{\mathrm{\#}A}{\mathrm{\#}S}$

Definizione

La distribuzione discreta uniforme su un insieme finito S è la distribuzione di probabilità $𝒰(S)$ che attribuisce a tutti gli elementi di S la stessa probabilità p di verificarsi.

In particolare, dalla relazione

$1=P(S)=\sum _{s\in S}P(s)=\sum _{s\in S}p=p\cdot \mathrm{\#}S$

seguono

$P(s)=\frac{1}{\mathrm{\#}S}$ per ogni elemento $s\in S$,

$P(A)=\frac{\mathrm{\#}A}{\mathrm{\#}S}$ per ogni sottoinsieme $A\subset S$.

Progressione aritmetica

Spesso viene considerata la distribuzione discreta uniforme su un insieme S i cui elementi sono in progressione aritmetica, ovvero del tipo

$S=\{\alpha +i\beta :i\in \{1,2,\dots ,n\}\}$.

In questo caso l'insieme S può essere descritto come un insieme di n elementi in progressione aritmetica, da a a b, con elementi della forma

$x_i=a+\frac{i-1}{n-1}(b-a)$,

con $x_1=a$ e $x_n=b$.

In questo modo la distribuzione discreta uniforme diventa una sorta di approssimazione della distribuzione continua uniforme sull'intervallo $[a,b]$

Caratteristiche

La distribuzione $𝒰([a,b],n)$ è simmetrica rispetto al punto medio $(a+b)/2$ del segmento $[a,b]$. Una variabile aleatoria U con questa distribuzione ha quindi speranza $E(U)=(a+b)/2$ e indice di asimmetria ${\gamma }_1=0$. Inoltre ha

• varianza

$\text{Var}(U)=\frac{(a-b{)}^2}{12}\frac{n+1}{n-1}$,

• curtosi

${\gamma }_2=-\frac{5}{6}\frac{n^2+1}{n^2-1}$,

• funzione generatrice dei momenti

$g(t,U)=E[e^{tU}]=\frac{1}{n}(e^{at}+e^{at+\beta t}+e^{at+2\beta t}+\dots +e^{at+n\beta t})=\frac{1}{n}{e}^{at}\frac{1-e^{\frac{n}{n-1}(b-a)t}}{1-e^{\frac{1}{n-1}(b-a)t}}$

• entropia

$H(U)=\log n$(il massimo valore possibile per una distribuzione su n elementi).

Altre distribuzioni

Il parallelo della distribuzione discreta uniforme tra le distribuzioni di probabilità continue è la distribuzione continua uniforme: una distribuzione definita su un insieme continuo S, che attribuisce la stessa probabilità a due intervalli della stessa lunghezza, contenuti in S, ovvero la cui densità di probabilità assume un valore costante su S.

Distribuzione su due valori

La distribuzione di Bernoulli $ℬ(p)$ con $p=1/2$ è una distribuzione discreta uniforme: i due valori 0 e 1 hanno entrambi probabilità

$p=1-p=1/2$.

Ogni altra distribuzione discreta uniforme su due valori a e b può essere espressa tramite una variabile aleatoria X con distribuzione di Bernoulli $ℬ(\frac{1}{2})$, considerando la variabile aleatoria $Y=aX+b(1-X)$.

La distribuzione discreta uniforme sui due valori 1 e −1 è anche detta distribuzione di Rademacher, dal matematico tedesco Hans Rademacher; al pari di altre distribuzioni su due valori, viene utilizzata nel metodo bootstrap per il ricampionamento dei dati.

Voci correlate

• Variabile casuale
• Distribuzione discreta
• Distribuzione continua uniforme
• Progressione aritmetica

Collegamenti esterni

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