Progressione aritmetica

Una progressione aritmetica

In matematica una progressione aritmetica è una successione di numeri tali che la differenza tra ciascun termine (o elemento) della successione e il suo precedente sia una costante. Tale costante viene detta ragione della progressione. Per esempio, la successione 3, 5, 7, 9, 11, ... è una progressione aritmetica di ragione 2.

Calcolo

Se il primo termine di una progressione aritmetica è $a_1$ e la ragione è $d,$ allora l'$n$-esimo termine della successione è dato da:

$a_n=a_1+(n-1)d.$

Tale proprietà può essere estesa a un qualsiasi termine della progressione; si avrà quindi che:

$a_r=a_s+(r-s)d$

La somma dei numeri di una progressione aritmetica finita si chiama serie aritmetica. La somma $S$ dei primi $n$ valori di una progressione aritmetica è uguale a:

$S_n=\frac{1}{2}n(a_1+a_n),$

dove $a_1$ è il primo termine e $a_n$ l'$n$-esimo.

Esempio: somma dei primi n interi positivi

Per esempio per trovare la somma dei primi $n$ interi positivi $\sum _{k=1}^{n}k,$ si calcola:

$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}.$

Dimostrazione

Si deve dimostrare che $\frac{n(a_1+a_n)}{2}=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n.$ Posizioniamo due progressioni aritmetiche uguali a quella data una sopra l'altra e con gli addendi invertiti di posizione. Ponendo $S$ uguale alla somma e andando poi a sommare in verticali gli addendi corrispondenti, abbiamo che:

$S=a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}+a_n$

$S=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_2+a_1$

______________________________________________________

$2S=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots +(a_n+a_1)$

La riga inferiore presenta addendi uguali perché $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=\cdots =a_1+a_n$. Ciò è facilmente dimostrabile. Infatti, ricordando che l'$n$-esimo termine è dato da $a_1+(n-1)d$, effettuando le seguenti sostituzioni:

• $a_2=a_1+d$
• $a_{n-1}=a_n-d$

e scrivendo

$a_1+a_n=(a_1+d)+(a_n-d),$

si dimostra che

$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}.$

Simili uguaglianze sono dimostrabili per gli altri termini della somma. Ma allora, ricordando che la somma della riga inferiore contiene $n$ termini

$2S=n(a_1+a_n)$

dividendo entrambi i membri dell'equazione per $2$

$S=\frac{n(a_1+a_n)}{2}.$

Caratteristiche

Le progressioni aritmetiche forniscono le sequenze di intervalli consecutivi di uguale ampiezza (la ragione); queste sequenze servono per la definizione degli integrali e per le campionature delle funzioni reali di una variabile reale; queste ultime sono utilizzate per la presentazione grafica di queste funzioni in tutti gli odierni sistemi e pacchetti computazionali.

Il teorema di Dirichlet, dimostrato nel 1837 da Peter Gustav Lejeune Dirichlet, afferma che in ogni progressione aritmetica in cui il primo termine $a$ e la ragione $d$ siano interi coprimi (ossia valga MCD$(a,d)=1$) si trovano infiniti numeri primi.

Voci correlate

• Addizione
• Progressione geometrica
• Polinomi calcolanti somme di potenze di progressioni aritmetiche

Collegamenti esterni

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