Bootstrap (statistica)

Template:F Il bootstrap è una tecnica statistica di ricampionamento con reimmissione per approssimare la distribuzione campionaria di una statistica. Permette di approssimare media e varianza di uno stimatore, costruire intervalli di confidenza e calcolare p-value di test quando, in particolare, non si conosce la distribuzione della statistica di interesse.

Nel caso di campionamento casuale semplice, il funzionamento è il seguente: consideriamo un campione effettivamente osservato di numerosità $n$, diciamo $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$. Da $𝐱$ si ricampionano $B$ altri campioni di numerosità costante $n$, diciamo ${𝐱}_1^{\ast },\dots ,{𝐱}_B^{\ast }$. Se $F$ è la funzione di ripartizione del fenomeno aleatorio dal quale è stato campionato $\mathbf{\text{𝐱}}$, allora la funzione di ripartizione empirica $\hat{F}$ è un'approssimazione di $F$; per cui un ricampionamento da essa approssima un ricampionamento dal modello originale. Per costruzione $\hat{F}$ è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria uniforme su $\mathbf{\text{𝐱}}$, dunque di fatto ogni ricampionamento ${\mathbf{\text{𝐱}}}_k^{\ast }$, con $k=1,\dots ,B$, è ottenuto scegliendo in modo uniforme con ripetizione $n$ valori da $\mathbf{\text{𝐱}}$.

Sia $T$ lo stimatore di $\theta$ che ci interessa studiare, diciamo $T(𝐱)=\hat{\theta }$. Si calcola tale quantità per ogni campione bootstrap, $T({𝐱}_1^{\ast }),\dots ,T({𝐱}_B^{\ast })$. In questo modo si hanno a disposizione $B$ stime di $\theta$, dalle quali è possibile calcolare la media bootstrap, la varianza bootstrap, i percentili bootstrap, ecc. che sono approssimazioni dei corrispondenti valori ignoti e portano informazioni sulla distribuzione di $T(𝐱)$.

Algoritmo bootstrap (per campione semplice)

Dato il campione $\mathbf{\text{𝐱}}=(x_1,\dots ,x_n)$:

• Si simulano $B$ campioni ${\mathbf{\text{𝐱}}}_1^{\ast },\dots ,{\mathbf{\text{𝐱}}}_B^{\ast }$, di numerosità $n$ da $\hat{F}$.
• Si calcolano le $B$ replicazioni corrispondenti ai campioni simulati: $\hat{\theta }({\mathbf{\text{𝐱}}}_1^{\ast }),\dots ,\hat{\theta }({\mathbf{\text{𝐱}}}_B^{\ast })$, dove $\hat{\theta }({\mathbf{\text{𝐱}}}_k^{\ast })=T({\mathbf{\text{𝐱}}}_k^{\ast }).$
• Si stima la varianza campionaria come:

${\text{Var}}_B(\hat{\theta })=\frac{1}{B-1}\sum _{k=1}^B{(\hat{\theta }({\mathbf{\text{𝐱}}}_k^{\ast })-{\theta }^{\ast })}^2,\text{dove }{\theta }^{\ast }=\frac{1}{B}\sum _{k=1}^B\hat{\theta }({\mathbf{\text{𝐱}}}_k^{\ast }).$

• Si stima la distorsione come:

$\beta ={\theta }^{\ast }-\theta =\frac{1}{B}\sum _{k=1}^B\hat{\theta }({\mathbf{\text{𝐱}}}_k^{\ast })-\theta .$

Partendo quindi da queste quantità stimate è possibile, anche lavorando in ambito non parametrico, calcolare intervalli di confidenza, saggiare ipotesi, ecc.

Bibliografia

• Efron,Bradley e Tibshirani, Robert, An Introduction to the Bootstrap, New York, Chapman & Hall, 1994, ISBN 9781489945419

Voci correlate

• Metodo Monte Carlo
• Convalida incrociata

Collegamenti esterni

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