Bootstrap (statistica)

Template:F Il bootstrap è una tecnica statistica di ricampionamento con reimmissione per approssimare la distribuzione campionaria di una statistica. Permette di approssimare media e varianza di uno stimatore, costruire intervalli di confidenza e calcolare p-value di test quando, in particolare, non si conosce la distribuzione della statistica di interesse.

Nel caso di campionamento casuale semplice, il funzionamento è il seguente: consideriamo un campione effettivamente osservato di numerosità $n$, diciamo $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$. Da $𝐱$ si ricampionano $B$ altri campioni di numerosità costante $n$, diciamo ${𝐱}_1^{*},\dots ,{𝐱}_B^{*}$. Se $F$ è la funzione di ripartizione del fenomeno aleatorio dal quale è stato campionato $\mathbf{\text{x}}$, allora la funzione di ripartizione empirica $\hat{F}$ è un'approssimazione di $F$; per cui un ricampionamento da essa approssima un ricampionamento dal modello originale. Per costruzione $\hat{F}$ è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria uniforme su $\mathbf{\text{x}}$, dunque di fatto ogni ricampionamento ${\mathbf{\text{x}}}_k^{*}$, con $k=1,\dots ,B$, è ottenuto scegliendo in modo uniforme con ripetizione $n$ valori da $\mathbf{\text{x}}$.

Sia $T$ lo stimatore di $\theta$ che ci interessa studiare, diciamo $T(𝐱)=\hat{\theta }$. Si calcola tale quantità per ogni campione bootstrap, $T({𝐱}_1^{*}),\dots ,T({𝐱}_B^{*})$. In questo modo si hanno a disposizione $B$ stime di $\theta$, dalle quali è possibile calcolare la media bootstrap, la varianza bootstrap, i percentili bootstrap, ecc. che sono approssimazioni dei corrispondenti valori ignoti e portano informazioni sulla distribuzione di $T(𝐱)$.

Algoritmo bootstrap (per campione semplice)

Dato il campione $\mathbf{\text{x}}=(x_1,\dots ,x_n)$:

• Si simulano $B$ campioni ${\mathbf{\text{x}}}_1^{*},\dots ,{\mathbf{\text{x}}}_B^{*}$, di numerosità $n$ da $\hat{F}$.
• Si calcolano le $B$ replicazioni corrispondenti ai campioni simulati: $\hat{\theta }({\mathbf{\text{x}}}_1^{*}),\dots ,\hat{\theta }({\mathbf{\text{x}}}_B^{*})$, dove $\hat{\theta }({\mathbf{\text{x}}}_k^{*})=T({\mathbf{\text{x}}}_k^{*}).$
• Si stima la varianza campionaria come:

${\text{Var}}_B(\hat{\theta })=\frac{1}{B-1}\sum _{k=1}^B{(\hat{\theta }({\mathbf{\text{x}}}_k^{*})-{\theta }^{*})}^2,\text{dove }{\theta }^{*}=\frac{1}{B}\sum _{k=1}^B\hat{\theta }({\mathbf{\text{x}}}_k^{*}).$

• Si stima la distorsione come:

$\beta ={\theta }^{*}-\theta =\frac{1}{B}\sum _{k=1}^B\hat{\theta }({\mathbf{\text{x}}}_k^{*})-\theta .$

Partendo quindi da queste quantità stimate è possibile, anche lavorando in ambito non parametrico, calcolare intervalli di confidenza, saggiare ipotesi, ecc.

Bibliografia

• Efron,Bradley e Tibshirani, Robert, An Introduction to the Bootstrap, New York, Chapman & Hall, 1994, ISBN 9781489945419

Voci correlate

• Metodo Monte Carlo
• Convalida incrociata

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni