Distribuzione di Bernoulli

Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità la distribuzione di Bernoulli (o bernoulliana) è una distribuzione di probabilità su due soli valori: $0$ e $1$, detti anche fallimento e successo. Prende il nome dallo scienziato svizzero Jakob Bernoulli (1654-1705).

Definizione

Una variabile aleatoria discreta $X$ ha distribuzione di Bernoulli $ℬ(p)$ di parametro $p\in [0,1]$ se e solo se

$P(X=1)=p,$

$P(X=0)=q=1-p,$

ossia

$P(X=i)=p^i(1-p{)}^{1-i}$ per $i=0,1.$

Il valore atteso è

$\mathrm{E}(X)=0\cdot p^0(1-p{)}^{1-0}+1\cdot p^1(1-p{)}^{1-1}=p,$

e la varianza è

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=pq=p(1-p).$

Altre leggi

Un processo di Bernoulli è una successione di variabili aleatorie indipendenti $X_i$ di uguale distribuzione di Bernoulli $ℬ(p)$, dette prove di Bernoulli. Da tale processo si possono definire le seguenti ulteriori leggi. La distribuzione binomiale descrive la probabilità del numero di successi in $n$ prove di Bernoulli, ovvero della variabile aleatoria

$S_n=X_1+X_2+\dots +X_n.$

La distribuzione geometrica e più in generale la distribuzione di Pascal descrivono il tempo del primo e del $k$-esimo successo rispettivamente, ovvero le variabili aleatorie $T=T_1$ e $T_k$ definite come

$T_k=\min \{t:S_t=k\}.$

Bibliografia

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Voci correlate

• Distribuzione binomiale
• Distribuzione geometrica
• Distribuzione di Pascal
• Variabile casuale
• Processo di Bernoulli

Collegamenti esterni

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