Classe laterale

La classe laterale (Template:Inglese) è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.

Definizione

Sia $(G;\cdot )$ un gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo e $a\in G$. Nel seguito utilizziamo per l'operazione di gruppo la notazione $a\cdot b=ab$. La classe laterale destra (o più semplicemente il laterale destro) di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ è l'insieme:

$Ha=\{b\in G|b=ha,h\in H\}=\{H\ni h=b{a}^{-1},b\in G\},$

cioè fissato un elemento $a$ di $G$ detto rappresentante della classe, si fa il prodotto $b=ha$ dove $h$ è un qualsiasi elemento del sottogruppo $H.$ Oppure si prende l'elemento opposto di $a$ e si fa il prodotto $b{a}^{-1}$ con qualsiasi elemento $b$ di $G$ verificando di ottenere un elemento di $H.$

Simmetricamente si definisce la classe laterale sinistra (o laterale sinistro) di $H$ in $G$ rappresentato da $a$ come l'insieme:

$aH=\{b\in G|b=ah,h\in H\}=\{H\ni h=a^{-1}b,b\in G\}.$

Descrizione tramite classi di equivalenza

È possibile descrivere ogni classe laterale destra come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza ${\sim }_{H\cdot }$ definita in $G$ ponendo per $a,b\in G$:

$a{\sim }_{H\cdot }b⟺b{a}^{-1}\in H⟺b\in Ha.$

La classe di equivalenza contenente l'elemento $g$ è proprio $Hg$: infatti $g=eg$, dove $e$ è l'elemento neutro di $G$: quindi $e\in H$ perché $H$ è un sottogruppo.

Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

$a{\sim }_{\cdot H}b⟺a^{-1}b\in H⟺b\in aH.$

L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi laterali distinte o disgiunte in cui è partizionato $G$ si definisce come:

$G/{\sim }_{\cdot H}:=\{xH|x\in G\},$

$G/{\sim }_{H\cdot }:=\{Hx|x\in G\},$

dove l'elemento $x$ è il rappresentante della classe laterale. Nel caso di un gruppo abeliano $G$ si ha sempre

$G/{\sim }_{\cdot H}=G/{\sim }_{H\cdot },\mathrm{\forall }H\le G,$

cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale. Nel caso non abeliano si possono avere sottogruppi normali e non.

Proprietà

Osserviamo che, a causa delle due equivalenze ${\sim }_{H\cdot }$ e ${\sim }_{\cdot H}$, sia i laterali sinistri che i destri del gruppo $G$ sono sottoinsiemi mutuamente disgiunti del gruppo. Quindi le due applicazioni

$\begin{array}{cc}{\varphi }_{\cdot H}:H& \to xH\\ h& \mapsto xh,\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\varphi }_{H\cdot }:H& \to Hx\\ h& \mapsto hx,\end{array}$

sono biunivoche e si possono esprimere con l'unica biiezione naturale

$\begin{array}{cc}{\varphi }_H:xH& \to Hx\\ xh& \mapsto h{x}^{-1}.\end{array}$

Per cui due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in corrispondenza biunivoca: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa cardinalità. Cioè in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto indice del sottogruppo $H$ nel gruppo $G$, e si denota con più simboli a seconda del testo utilizzato

$i(H)=(G:H)=[G:H].$

In particolare, se $G$ è finito e ha $n$ elementi, e $H$ ha $m$ elementi, si ha $n=m\cdot i(H)$: quindi la cardinalità di ogni sottogruppo $H$ di un gruppo finito $G$ e il suo indice $i(H)$ sono divisori della cardinalità di $G$ (si veda il teorema di Lagrange).

In generale le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un sottogruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo $N$ di $G$ che definisce un'unica partizione, cioè tale che $gN=Ng,$ per ogni $g\in G$, si dice sottogruppo normale di $G$; in genere tale partizione è formata da $i(H)$ classi cioè dal valore dell'indice di $H.$ Quando un sottogruppo forma una partizione che consiste di solo due classi laterali sinistre o destre cioè l'indice del sottogruppo $H$ diventa $[G:H]=2,$ allora $H=N$ cioè è normale ma non vale il viceversa. In qualsiasi gruppo i due sottogruppi banali sono normali. La definizione data consente di passare dall'insieme quoziente alla definizione di gruppo quoziente i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre. Cioè:

$G/{\sim }_{\cdot H}=G/{\sim }_{H\cdot }=G/N$

e in tale gruppo abbiamo:

• $xH\circ yH=xyH$ che equivale a $Hx\circ Hy=Hxy$ come legge di composizione interna associativa;

$(xHyH)zH=xH(yHzH)\mathrm{\forall }xH,yH,zH\in G/N$;

• $eH=He=eN=Ne$ come elemento neutro;
• ${xH}^{-1}=x^{-1}H$ come elemento inverso.

a cui viene associata una tabella di Cayley $i(H)\cdot i(H)$.

Casi particolari

• Casi particolari sono quelli dei sottogruppi impropri o banali. Sia $H=\{e\}$. In tal caso si ottiene

$a_{i}H=\{a_i\}=H{a}_i,i=1,2,\dots ,|G|,$

quindi i laterali destri e sinistri sono uguali e contengono un solo elemento per cui $i(H)=|G|$ e il teorema di Lagrange diventa $|G|=|H|\cdot i(H)=1\cdot |G|$. L'altro caso è $H=G$ e si ottiene

$a_{i}H=H{a}_i=G,i=1,2,\dots ,|G|,$

quindi i laterali destri e sinistri coincidono con una sola classe di equivalenza per cui $i(H)=1$ e il teorema di Lagrange diventa $|G|=|H|\cdot i(H)=|G|\cdot 1$.

• Se come elemento $x$ rappresentativo della classe prendiamo l'elemento neutro di $G$ si ha

$eH=\{y\in G|e^{-1}y=ey=y\in H\}=H$

$He=\{y\in G|y{e}^{-1}=ye=y\in H\}=H$

$eH=H=He$

con $e$ elemento neutro di $G$. Quindi il laterale destro e sinistro sono uguali e coincidenti con $H.$

Esempi

Gruppo simmetrico

Questo esempio considera un gruppo non abeliano di ordine finito. Il gruppo simmetrico $S_3$ ha legge di composizione non commutativa

$\alpha \circ \beta =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ \alpha (1)& \alpha (2)& \alpha (3)\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ \beta (1)& \beta (2)& \beta (3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ \alpha (\beta (1))& \alpha (\beta (2))& \alpha (\beta (3))\end{array}\right)\ne \beta \circ \alpha$

elemento neutro ed opposto

$\mathrm{i}\mathrm{d}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$ cioè tutti gli elementi sono punti fissi.

${\alpha }^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ {\alpha }^{-1}(1)& {\alpha }^{-1}(2)& {\alpha }^{-1}(3)\end{array}\right)$ occorre scambiare le righe nella notazione 2-linea.

Consideriamo i sottogruppi di $S_3$ il cui ordine sono divisori dell'ordine del gruppo $|S_3|=1\cdot 2\cdot 3=6$ per il teorema di Lagrange. Quindi i divisori possibili sono 1, 2, 3, 6. Dalla teoria i divisori che sono numeri primi sono ordini di gruppi ciclici. Da una semplice analisi della tabella Cayley si ottengono:

• due sottogruppi normali banali $\{\mathrm{i}\mathrm{d}\}=\{C_3^3\}=\{(1)(2)(3)\}$ ed $S_3=C_3\times C_2=<(132),(23)>$ di ordini 1 e 6;
• il sottogruppo normale alternante $A_3=\{\mathrm{i}\mathrm{d},(123),(132)\}=C_3=\{C_3^3,C_3,C_3^2\}=<(132)>$ che è un gruppo ciclico di ordine 3;
• tre sottogruppi delle riflessioni $T_2^{\text{'}}=\{\mathrm{i}\mathrm{d},(23)(1)\}=\{C_3^3,{\sigma }^{\text{'}}\}=C_2^{\text{'}}=<(23)>$, $T_2^{{\text{'}}^{\prime }}=\{\mathrm{i}\mathrm{d},(13)(2)\}=\{C_3^3,{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }})\}=C_2^{{\text{'}}^{\prime }}=<(13)>$ e $T_2^{{\text{'}}^{″}}=\{\mathrm{i}\mathrm{d},(12)(3)\}=\{C_3^3,{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}=C_2^{{\text{'}}^{″}}=<(12)>$ che sono gruppi ciclici di ordine 2.

Quindi ci sono sei sottogruppi di cui tre normali. Abbiamo utilizzato la notazione ciclica e i simboli dei gruppi ciclici di ordine 2 e 3. Vogliamo conoscere le loro classi laterali. Iniziamo dal caso semplice dei due sottogruppi banali:

$H=\{\mathrm{i}\mathrm{d}\},C_3^{3}H=H{C}_3^3=\{C_3^3\},\cdots ,{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}H=H{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}=\{{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\},$

quindi 6 classi laterali destre e sinistre coincidenti e l'indice diventa $[S_3:\{\mathrm{i}\mathrm{d}\}]=6.$

$H=S_6,C_3^{3}H=H{C}_3^3=\cdots ={\sigma }^{{\text{'}}^{″}}H=H{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}=S_3,$

quindi una sola classe laterale destra e sinistra coincidente e l'indice diventa $[S_3:S_3]=1.$

$H=T_2^{\text{'}}.$

Utilizziamo la tabella Cayley del gruppo (con la convenzione che il primo fattore è quello della riga) e la tabella seguente dove fissiamo un elemento $x_i\in G,$ per $i=1,2,\dots ,6$, in questo caso $x_i=C_3^2$ e quindi $x_i^{-1}=C_3$ e poi lo componiamo con qualsiasi elemento $x_k\in G,$ per $k=1,2,\dots ,6$. Per quei prodotti che stanno in H troviamo gli $x_k\in x_{i}H$. Stessa procedura per trovare gli $x_k\in H{x}_i$.

Classe laterale sinistra

$x_i$	$x_i^{-1}$	$x_k$	$x_i^{-1}{x}_k$
$C_3^2$	$C_3$	$C_3^3$	$C_3{C}_3^3=C_3$
		$C_3^2$	$C_3{C}_3^2=C_3^3\in H$
		$C_3$	$C_3{C}_3=C_3^2$
		${\sigma }^{\text{'}}$	$C_3{\sigma }^{\text{'}}={\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}$
		${\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}$	$C_3{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}={\sigma }^{{\text{'}}^{″}}$
		${\sigma }^{{\text{'}}^{″}}$	$C_3{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}={\sigma }^{\text{'}}\in H$

Classe laterale destra

$x_i$	$x_i^{-1}$	$x_k$	$x_k{x}_i^{-1}$
$C_3^2$	$C_3$	$C_3^3$	$C_3^3{C}_3=C_3$
		$C_3^2$	$C_3^2{C}_3=C_3^3\in H$
		$C_3$	$C_3{C}_3=C_3^2$
		${\sigma }^{\text{'}}$	${\sigma }^{\text{'}}{C}_3={\sigma }^{{\text{'}}^{″}}$
		${\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}$	${\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}{C}_3={\sigma }^{\text{'}}\in H$
		${\sigma }^{{\text{'}}^{″}}$	${\sigma }^{{\text{'}}^{″}}{C}_3={\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}$

abbiamo ottenuto $x_{i}H=C_3^{2}H=\{C_3^2,{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}$ per il laterale sinistro e $H{x}_i=H{C}_3^2=\{C_3^2,{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}\}\ne C_3^{2}H$ per quello destro.

Con questo modo di operare si ottengono i seguenti risultati:

${\sigma }^{\text{'}}H=C_3^{3}H=H{\sigma }^{\text{'}}=H{C}_3^3=T_2^{\text{'}},$

${\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}H=C_{3}H=\{C_3,{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}\}\ne \{C_3^2,{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}\}=H{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}=H{C}_3^2,$

${\sigma }^{{\text{'}}^{″}}H=C_3^{2}H=\{C_3^2,{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}\ne \{C_3,{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}=H{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}=H{C}_3,$

e si può notare che due laterali destri o sinistri possono coincidere ma solo nel caso dell'elemento neutro le classi destra e sinistra coincidono. Comunque le classi sinistre diverse sono tre quanto quelle destre e sono disgiunte. Per cui l'indice di $H$ in $S_3$ ha valore $[S_3:T_2^{\text{'}}]=3.$

Stesso metodo si applica ai restanti sottogruppi, ottenendo il risultato:

Classi laterali dei sottogruppi di $S_3$

$|H|$	$H$	$G/{\sim }_{\cdot H}$	$G/{\sim }_{H\cdot }$	$[S_3:H]$
1	$\{\mathrm{i}\mathrm{d}\}=N$	$C_3^{3}H=\{C_3^3\},\cdots ,{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}H=\{{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}$	$H{C}_3^3=\{C_3^3\},\cdots ,H{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}=\{{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}$	6
2	$T_2^{\text{'}}=\{C_3^3,{\sigma }_{\text{'}}\}$	$\begin{array}{cc}{\sigma }^{\text{'}}H=C_3^{3}H=& T_2^{\text{'}}\\ {\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}H=C_{3}H=& \{C_3,{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}\}\\ {\sigma }^{{\text{'}}^{″}}H=C_3^{2}H=& \{C_3^2,{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}\end{array}$	$\begin{array}{cc}H{\sigma }^{\text{'}}=H{C}_3^3=& T_2^{\text{'}}\\ H{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}=H{C}_3^2=& \{C_3^2,{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}\}\\ H{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}=H{C}_3=& \{C_3,{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}\end{array}$	3
2	$T_2^{{\text{'}}^{\prime }}=\{C_3^3,{\sigma }_{{\text{'}}^{\prime }}\}$	$\begin{array}{cc}{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}H=C_3^{3}H=& T_2^{{\text{'}}^{\prime }}\\ {\sigma }^{\text{'}}H=C_3^{2}H=& \{C_3^2,{\sigma }^{\text{'}}\}\\ {\sigma }^{{\text{'}}^{″}}H=C_{3}H=& \{C_3,{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}\end{array}$	$\begin{array}{cc}H{C}_3^3=H{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}=& T_2^{{\text{'}}^{\prime }}\\ H{C}_3^2=H{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}=& \{C_3^2,{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}\\ H{C}_3=H{\sigma }^{\text{'}}=& \{C_3,{\sigma }^{\text{'}}\}\end{array}$	3
2	$T_2^{{\text{'}}^{″}}=\{C_3^3,{\sigma }_{{\text{'}}^{″}}\}$	$\begin{array}{cc}{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}H=C_3^{3}H=& T_2^{{\text{'}}^{″}}\\ {\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}H=C_3^{2}H=& \{C_3^2,{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}\}\\ {\sigma }^{\text{'}}H=C_{3}H=& \{C_3,{\sigma }^{\text{'}}\}\end{array}$	$\begin{array}{cc}H{C}_3^3=H{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}=& T_2^{{\text{'}}^{″}}\\ H{C}_3^2=H{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}=& \{C_3,{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}\}\\ H{C}_3=H{\sigma }^{\text{'}}=& \{C_3^2,{\sigma }^{\text{'}}\}\end{array}$	3
3	$A_3=\{C_3^3,C_3,C_3^2\}=N$	$\begin{array}{cc}{C}_3^{3}H=C_3^{2}H=C_{3}H=& A_3\\ {\sigma }^{\text{'}}H={\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}H={\sigma }^{{\text{'}}^{″}}H=& \{{\sigma }^{\text{'}},{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }},{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}\end{array}$	$\begin{array}{cc}H{C}_3=H{C}_3^2=H{C}_3^3=& A_3\\ H{\sigma }^{\text{'}}=H{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }}=H{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}=& \{{\sigma }^{\text{'}},{\sigma }^{{\text{'}}^{\prime }},{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}\}\end{array}$	2
6	$S_3=N$	$C_3^{3}H=\cdots ={\sigma }^{{\text{'}}^{″}}H=S_3$	$H{C}_3^3=\cdots =H{\sigma }^{{\text{'}}^{″}}=S_3$	1

Gruppo additivo

Adesso gli esempi vengono fatti su gruppi infiniti dove l'indice del sottogruppo ha valore finito. Sia $G$ il gruppo additivo degli interi

$G=\mathbb{Z}=(\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \},+),$

cioè del gruppo interi relativi con la legge di composizione l'usuale addizione. Quindi abbiamo:

$\mathrm{i}\mathrm{d}=0$ come elemento neutro;

$-a$ come elemento opposto rispetto alla legge composizione;

$a+b=b+a,$ per ogni $a,b\in G$ cioè un gruppo abeliano.

Consideriamo come sottogruppo $H\le \mathbb{Z}$

$H=(3\mathbb{Z},+)=(\{\dots ,-6,-3,0,3,6,\dots \},+).$

Allora le classi laterali destre di $H$ in $G$ sono i tre insiemi

$G/{\sim }_{H\cdot }=\{H+0,H+1,H+2\},$

dove abbiamo utilizzato la notazione per la classe laterale destra

$H+x=\{\dots ,-6+x,-3+x,x,3+x,6+x,\dots \},x=0,1,2,$

con $x$ il rappresentante della classe. Questi tre insiemi suddividono l'insieme (o formano una partizione di) $\mathbb{Z},$ quindi non ci sono altri laterali destri di $H.$ Essendo l'addizione commutativa si ha pure:

$H+x=x+H,x=0,1,2.$

Cioè, ogni laterale sinistro di $H$ è anche un laterale destro, e l'indice di $H$ in $G$ è semplicemente

$|G/{\sim }_{\cdot H}|=|G/{\sim }_{H\cdot }|=[G:H]=3.$

Quindi $H⊴G,$ cioè un sottogruppo normale con indice 3. (La stessa citazione mostra che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale.)

Generalizzando, sia $G$ sempre il gruppo additivo degli interi, e consideriamo il generico sottogruppo $H$

$H=(n\mathbb{Z},+)=(\{\dots ,-2n,-n,0,n,2n,\dots \},+),$

dove $n$ è un intero positivo. Allora i laterali destro e sinistro di $H$ in $G$ sono gli $n$ insiemi (cioè l'indice di $H$ in $G$ è $[G:H]=n$)

$G/{\sim }_{H\cdot }=\{n\mathbb{Z}+0,n\mathbb{Z}+1,\dots ,n\mathbb{Z}+(n-1)\},$

$G/{\sim }_{\cdot H}=\{0+n\mathbb{Z},1+n\mathbb{Z},\dots ,(n-1)+n\mathbb{Z}\},$

che sono coincidenti essendo $\mathbb{Z}$ un gruppo abeliano. Una generica classe laterale destra con rappresentante $x$ è un insieme del tipo:

$n\mathbb{Z}+x=\{\dots ,-2n+x,-n+x,x,n+x,2n+x,\dots \}.$

Non ci sono più di $n$ laterali destri e sinistri, infatti $n\mathbb{Z}+n=n(\mathbb{Z}+1)=n\mathbb{Z}.$

Le classe laterale del sottogruppo normale $H=N=n\mathbb{Z}$ forma un sottogruppo

$(n\mathbb{Z}+x,+)=(x+n\mathbb{Z},+)$

e viene detta classe di congruenza di $x$ modulo $n.$ Il sottogruppo $H=n\mathbb{Z}$ è normale nel gruppo $G=\mathbb{Z},$ e quindi, ha senso formare il gruppo quoziente

$G/H=G/N=\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z})=\{n\mathbb{Z}+x=x+n\mathbb{Z}|x\in \mathbb{Z}\},$

detto gruppo additivo degli interi modulo $n$ a cui viene associata una tabella Cayley $n\times n.$

Spazi vettoriali

Un altro esempio di classi laterali viene dalla teoria degli spazi vettoriali dove l'indice del sottogruppo ha valore infinito. Sia $G$ un gruppo coincidente con uno spazio vettoriale $V$. Gli elementi (vettori) di uno spazio vettoriale formano un gruppo abeliano con legge di composizione l'usuale addizione vettoriale. Quindi abbiamo

$\mathrm{i}\mathrm{d}=0_V$ il vettore nullo come elemento neutro;

$-v$ come elemento opposto rispetto alla legge composizione;

$v_1+v_2=v_2+v_1,\mathrm{\forall }{v}_1,v_2\in G,$ cioè $V$ è un gruppo abeliano.

I sottospazi di uno spazio vettoriale sono i sottogruppi di questo gruppo. Nello spazio ${ℝ}^3$ tali sottospazi, dovendo contenere l'elemento neutro $0_V,$ sono rette e piani passanti per l'origine $O=(0,0,0)=0_V$ del sistema di riferimento. Fissiamo allora un sottospazio $W=H$ e un vettore $x$ di $V$, consideriamo le classi laterali di tale elemento fissato:

$x+W=\{𝐯\in V\mid 𝐯=𝐱+𝐰,𝐰\in W\},$

dove $x$ è il rappresentante della classe. Queste classi formano una partizione di $V$, cioè sono digiunti:

$(x+W)\cap (y+W)=\varnothing ,\mathrm{\forall }x,y\in V,x\ne y.$

Tali classi laterali sono detti sottospazi affini di $V$ paralleli a $W$, e i laterali destri $W+x$ e sinistri $x+W$ coincidono essendo il gruppo abeliano, cioè $x+W=W+x$. Quindi $W$ è un sottogruppo normale ed ammette in questo caso:

$|G/{\sim }_{\cdot H}|=|G/{\sim }_{H\cdot }|=[G:H]=\mathrm{\infty }.$

Allora definiamo lo spazio vettoriale quoziente (gruppo quoziente) come l'insieme di tutti questi sottospazi affini

$G/{\sim }_{\cdot H}=G/{\sim }_{H\cdot }=V/W=\{x+W|x\in V\}.$

In ${ℝ}^3$ questi sottospazi affini sono tutte le rette o piani paralleli al sottospazio con il vettore nullo $W$, che sappiamo rappresentare una retta o un piano passante per l'origine. Ad esempio, consideriamo il piano ${ℝ}^2$. Se $r$ denota una retta passante per l'origine $O,$ allora $r$ è un sottogruppo del gruppo abeliano ${ℝ}^2$. Se $P$ è un punto di ${ℝ}^2$, allora la classe laterale

$P+r=r+P$

indica il sottospazio rappresentato da una retta $r^{\prime }$ parallela a $r$ e passante per il punto $P.$

Gruppo generale lineare

Con $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,K)$ oppure con ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(K)$ si indica il gruppo delle matrici sopra un campo $K$ che sono invertibili. Questo esempio è preso dal gruppo generale lineare $\mathrm{G}\mathrm{L}(2,ℝ)$. Ricordiamo che tale gruppo ha come legge di composizione interna l'usuale moltiplicazione riga per colonna di matrici

$g_1{g}_2=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}^{\text{'}}& b^{\text{'}}\\ c^{\text{'}}& d^{\text{'}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a{a}^{\text{'}}+b{c}^{\text{'}}& a{b}^{\text{'}}+b{d}^{\text{'}}\\ c{a}^{\text{'}}+d{c}^{\text{'}}& c{b}^{\text{'}}+d{d}^{\text{'}}\end{array}\right)\ne g_2{g}_1,\mathrm{\forall }{g}_1{g}_2\in G$

quindi un gruppo non abeliano e faremo vedere che ci sono sottogruppi normali e non. Tale gruppo ammette elemento neutro ed elemento inverso

$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

Prendiamo come $G$ il particolare gruppo moltiplicativo delle matrici a due parametri (abbiamo due parametri noti $b=0,d=1$),

$G=\{g\in G|\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right):a,c\in ℝ,a\ne 0\},$

e consideriamo come sottogruppo $H$ di $G$ ad un parametro (abbiamo tre parametri noti $b=0,d=1$ come prima e $a=1$):

$H=\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ c^{\text{'}}& 1\end{array}\right):c^{\text{'}}\in ℝ\}.$

Fissiamo una matrice $2\times 2$ da $G$ e vogliamo trovare la generica classe laterale sinistra rispetto H sapendo che non sono in numero finito come nel caso del gruppo S₃, cioè:

$\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right)H=\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ c^{\text{'}}& 1\end{array}\right):c^{\text{'}}\in ℝ\}=\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c+c^{\text{'}}& 1\end{array}\right):c^{\text{'}}\in ℝ\}=\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c^{{\text{'}}^{\prime }}& 1\end{array}\right):c^{{\text{'}}^{\prime }}\in ℝ\}$

mentre la generica classe laterale destra

$H\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right)=\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ c^{\text{'}}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right):c^{\text{'}}\in ℝ\}=\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c+a{c}^{\text{'}}& 1\end{array}\right):c^{\text{'}}\in ℝ\}=\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c^{{\text{'}}^{\prime }}& 1\end{array}\right):c^{{\text{'}}^{\prime }}\in ℝ\}=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right)H.$

Cioè le classi laterali sinistre sono costituite da tutte le matrici di $G$ che hanno lo stesso elemento in alto a sinistra come le classi laterali destre. Quindi il sottogruppo $H$ è normale in $G,$ mentre se consideriamo il sottogruppo

$K=\{\left(\begin{array}{cc}{a}^{\text{'}}& 0\\ 0& 1\end{array}\right):a^{\text{'}}\in ℝ-\{0\}\}$

essendo

$\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right)K=\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}^{\text{'}}& 0\\ 0& 1\end{array}\right):a^{\text{'}}\in ℝ-\{0\}\}=\{\left(\begin{array}{cc}a{a}^{\text{'}}& 0\\ c{a}^{\text{'}}& 1\end{array}\right):a^{\text{'}}\in ℝ-\{0\}\}=\{\left(\begin{array}{cc}{a}^{{\text{'}}^{\prime }}& 0\\ c^{{\text{'}}^{\prime }}& 1\end{array}\right):a^{{\text{'}}^{\prime }},c^{{\text{'}}^{\prime }}\in ℝ-\{0\}\}$

$K\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right)=\{\left(\begin{array}{cc}{a}^{\text{'}}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right):a^{\text{'}}\in ℝ-\{0\}\}=\{\left(\begin{array}{cc}a{a}^{\text{'}}& 0\\ c& 1\end{array}\right):a^{\text{'}}\in ℝ-\{0\}\}=\{\left(\begin{array}{cc}{a}^{{\text{'}}^{\prime }}& 0\\ c& 1\end{array}\right):a^{{\text{'}}^{\prime }}\in ℝ-\{0\}\}$

ne concludiamo che le classi sinistre hanno due parametri variabili ($a^{{\text{'}}^{\prime }},c^{{\text{'}}^{\prime }}$), mentre quelle destre hanno un parametroo variabile ($a^{{\text{'}}^{\prime }}$) e quindi

$\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right)K\ne K\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right),$

cioè $K$ è non normale in $G.$

Azione di gruppo e orbita

Template:Main Un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ si utilizza per definire l'azione di $H$ su $G$ in due modi naturali. LTemplate:'azione destra,

$\begin{array}{cc}G\times H& \to G\\ (g,h)& \mapsto gh\end{array}$

e lTemplate:'azione sinistra,

$\begin{array}{cc}H\times G& \to G\\ (h,g)& \mapsto hg.\end{array}$

L'orbita dell'elemento $g\in G$ sotto l'azione destra coincide con la classe laterale sinistro $gH\subseteq G$, mentre l'orbita sotto l'azione sinistra è il laterale destro $Hg\subseteq G$.

Note

Postille

Fonti

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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