Disgiunzione

Template:Nota disambigua Template:F Nella teoria degli insiemi la disgiunzione è la relazione che sussiste fra due insiemi che non hanno alcun elemento in comune. In altre parole, due insiemi $A$ e $B$ sono disgiunti se la loro intersezione è l'insieme vuoto $\varnothing$, cioè: $A\cap B=\varnothing .$

Esempi

Si considerino gli insiemi

$A=\{1,2,3\};B=\{3,4,5\};C=\{4,5,6\}$

mentre $A$ e $B$ non sono disgiunti, $A$ e $C$ sono disgiunti.

Sono disgiunti l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari. Non lo sono l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri immaginari: hanno in comune lo zero inteso come numero complesso.

Varie

La disgiunzione di insiemi è una relazione simmetrica, non riflessiva (l'unico elemento in relazione con sé stesso è l'insieme vuoto) e non transitiva. Un controesempio per la non transitività è dato dai seguenti insiemi

$E=\{a,b,c\};F=\{d,f,g\};G=\{e,f,h,i\}$ ;

$E$ ed $F$ sono disgiunti, come lo sono $E$ e $G$; $F$ e $G$ invece non sono disgiunti.

Una famiglia di insiemi $E_i$ per $i\in I$ si dice costituita da insiemi mutuamente disgiunti (o a due a due disgiunti) se per ogni coppia di indici distinti $h,k\in I$ i corrispondenti insiemi sono disgiunti: $E_h\cap E_k=\varnothing$. Notare che questa è una proprietà più forte del richiedere che l'intersezione totale $\bigcap _{i\in I}{E}_I$ sia vuota. Per esempio gli insiemi E, F e G definiti sopra non sono mutuamente disgiunti sebbene $E\cap F\cap G=\varnothing$.

Una partizione di un insieme è costituita da un ricoprimento fatto con suoi sottoinsiemi mutuamente disgiunti.

Voci correlate

• Intersezione di insiemi
• Separazione (teoria degli insiemi)

Collegamenti esterni

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