Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)

In teoria dei gruppi, il teorema di Lagrange è un teorema basilare nello studio dei gruppi finiti. Afferma che l'ordine (cioè il numero di elementi) di un sottogruppo di un gruppo finito è un divisore dell'ordine del gruppo.

Prende il nome da Joseph-Louis Lagrange.

Dimostrazione

La prima parte della dimostrazione si applica a qualsiasi gruppo $G$ e a un suo sottogruppo $H$. Si considera l'insieme

$\{aH:a\in G\}$

delle classi laterali (sinistre)

$aH=\{ah:h\in H\}$

di $H$ in $G$; questo forma una partizione di $G$, ovvero $G$ è unione delle classi laterali, e due classi laterali distinte non hanno elementi in comune. Inoltre per ogni $a\in G$ la funzione $H\to aH$ che manda $h\in H$ in $ah$ è una biezione.

Nel caso in cui $G$ sia finito, ogni classe laterale ha dunque ordine eguale all'ordine $|H|$ di $H$. Se si denota con $[G:H]$ lTemplate:'indice di $H$ in $G$ (ovvero il numero di classi laterali distinte) si ha quindi

$|G|=|H|\cdot [G:H].$

In particolare, l'ordine $|H|$ di $H$ divide l'ordine $|G|$ di $G$.

Conseguenze

Dal teorema di Lagrange segue che, se $G$ è un gruppo finito, l'ordine di ogni suo elemento $a$ (ovvero il più piccolo intero positivo $m$ tale che $a^m$ sia l'identità) divide l'ordine di $G$: questo segue dal fatto che l'ordine di $a$ coincide con l'ordine del sottogruppo ciclico generato da $a$. Un'altra conseguenza è che, se l'ordine di un gruppo è un numero primo, allora esso è ciclico, generato da un qualsiasi elemento diverso dall'identità. Più in generale, il teorema è un primo passo nello studio della struttura dei gruppi finiti.

Un ulteriore corollario del teorema è che per ogni $a\in G$ vale $a^{|G|}=e$, dove $e$ indica l'identità in $G$. Esso si traduce nel piccolo teorema di Fermat se $p$ è un primo e $G=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{*}$, il gruppo moltiplicativo degli interi invertibili modulo $p$, nel teorema di Eulero-Fermat se $G=(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{*}$, con $m$ un intero qualsiasi.

Viceversa

In generale, l'inverso del teorema di Lagrange non vale; ovvero, se $m$ è un intero positivo che divide l'ordine di $G$, non è detto che $G$ abbia un sottogruppo di ordine $m$. Per esempio, il gruppo alterno $A_4$ ha ordine 12, ma non ha sottogruppi di ordine 6. Lo stesso vale per ogni gruppo semplice finito di ordine $2n$ pari: infatti, un sottogruppo di ordine $n$ sarebbe normale, contro l'ipotesi che il gruppo è semplice.

L'inverso vale però se $m$ è la potenza di un primo: questo risultato è uno dei teoremi di Sylow. Un altro caso in cui il teorema di Lagrange si inverte è quando il gruppo $G$ è abeliano o, più in generale, quando è nilpotente. Nel caso abeliano, grazie al teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati, si può dimostrare che esiste sempre un sottogruppo di ogni ordine possibile (ossia deve dividere l'ordine del gruppo).

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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