Teoremi di Fredholm

In matematica, i teoremi di Fredholm sono un insieme di risultati dovuti a Ivar Fredholm nell'ambito della teoria di Fredholm delle equazioni integrali.

Si tratta di teoremi strettamente correlati che possono essere esposti nell'ambito delle equazioni integrali, dell'algebra lineare o dell'operatore di Fredholm su spazi di Banach. Tra i vari teoremi vi è anche l'alternativa di Fredholm.

Algebra lineare

Sia $M$ una matrice, allora il complemento ortogonale dello spazio generato dai vettori riga è il nucleo della matrice:

$(\mathrm{row}M{)}^{\mathrm{\perp }}=\ker M$

In modo simile, il complemento ortogonale dello spazio generato dai vettori colonna è il nucleo della matrice aggiunta:

$(\mathrm{col}M{)}^{\mathrm{\perp }}=\ker M^{*}$

Equazioni integrali

Template:Vedi anche Sia $K(x,y)$ il nucleo di una trasformata integrale e si considerino le equazioni:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)\varphi (y)dy=\lambda \varphi (x)\underset{a}{\overset{b}{\int }}\psi (x)\overline{K(x,y)}dx=\bar{\lambda }\psi (y)$

dove $\bar{\lambda }$ denota il complesso coniugato del numero complesso $\lambda$, e similmente per $\overline{K(x,y)}$.

Allora per ogni valore fissato di $\lambda$ le equazioni hanno o la soluzione banale $\psi (x)=\varphi (x)=0$ oppure hanno lo stesso numero di soluzioni linearmente indipendenti ${\varphi }_1(x),\cdots ,{\varphi }_n(x)$, ${\psi }_1(y),\cdots ,{\psi }_n(y)$.

Una condizione sufficiente a garantire la validità del teorema è che $K(x,y)$ sia a quadrato sommabile sul rettangolo $[a,b]\times [a,b]$, dove a e b possono assumere valore illimitato.

Il teorema può essere esteso a spazi in più dimensioni, come ad esempio le superfici di Riemann.

Esistenza delle soluzioni

Uno dei teoremi di Fredholm riguarda l'esistenza delle soluzioni dell'equazione di Fredholm:

$\lambda \varphi (x)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)\varphi (y)dy=f(x)$

Le soluzioni esistono se e solo se la funzione $f(x)$ è ortogonale all'insieme completo delle soluzioni $\{{\psi }_n(x)\}$ della corrispondente equazione aggiunta:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overline{{\psi }_n(x)}f(x)dx=0$

dove $\overline{{\psi }_n(x)}$ è il complesso coniugato di ${\psi }_n(x)$, e la precedente relazione è uno degli insiemi di soluzioni per:

$\lambda \overline{\psi (y)}-\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overline{\psi (x)}K(x,y)dx=0$

Una condizione sufficiente a garantire la validità del teorema è che $K(x,y)$ sia a quadrato sommabile sul rettangolo $[a,b]\times [a,b]$.

Teorema analitico di Fredholm

Sia $D$ un sottoinsieme aperto e connesso di $ℂ$, sia $f$ una funzione analitica definita su $D$ a valori nello spazio degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert e sia $f$ compatta per ogni $z\in D$. Il teorema analitico di Fredholm afferma che o $(I-f(z){)}^{-1}$ non esiste per alcun $z\in D$, oppure $(I-f(z){)}^{-1}$ esiste per ogni $z$ in $D\setminus S$, dove $S$ è un sottoinsieme discreto contenuto in $D$, ovvero tale che non ha punti limite in tale insieme. In tal caso l'operatore $(I-f(z){)}^{-1}$ è mereomorfo di $D$ e analitico in D\S. Inoltre, i residui ai poli sono operatori dal rango finito, e se $z\in S$ allora $f(z)\psi =\psi$ ha una soluzione non nulla nello spazio di Hilbert.

L'alternativa di Fredholm

Template:Vedi anche L'alternativa di Fredholm è un importante corollario del teorema analitico di Fredholm che afferma che se $A$ è un operatore compatto su uno spazio di Hilbert allora o $(I-f(z){)}^{-1}$ esiste oppure $A\psi =\psi$ ha una soluzione.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Sv E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math. , 27 (1903) pp. 365–390.

Voci correlate

• Alternativa di Fredholm
• Autovettore e autovalore
• Determinante di Fredholm
• Equazione differenziale lineare
• Equazione integrale di Fredholm
• Funzione di Green
• Nucleo di Fredholm
• Operatore compatto
• Operatore di Fredholm
• Spettro (matematica)
• Teoria di Fredholm

Collegamenti esterni

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