Spazi delle righe e delle colonne

Righe di una matrice.

Colonne di una matrice.

In matematica, e in particolare in algebra lineare, lo spazio delle righe di una matrice $A_{m\times n}$ con valori reali (o più in generale in un campo $K$) è il sottospazio di ${ℝ}^n$ (o più in generale di $K^n$ ) generato dai vettori riga della matrice. Analogamente, lo spazio delle colonne è il sottospazio di $K^m$ generato dalle colonne.

Pur essendo contenuti in spazi vettoriali differenti, lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne hanno la stessa dimensione, pari al rango di $A$. Tale dimensione è al più il minimo fra gli interi $m$ e $n$.

Esempio

Ad esempio, consideriamo una matrice

$A:=\left[\begin{array}{ccccc}2& 4& 1& 3& 2\\ -1& -2& 1& 0& 5\\ 1& 6& 2& 2& 2\\ 3& 6& 2& 5& 1\end{array}\right]$

e denotiamo le sue righe con $r_1=(2,4,1,3,2),r_2=(-1,-2,1,0,5),r_3=(1,6,2,2,2),r_4=(3,6,2,5,1)$.

Lo spazio delle righe di $A$ è il sottospazio di ${ℝ}^5$ generato da

$\{r_1,r_2,r_3,r_4\}$

Viceversa, denotando le colonne con $c_1=(2,-1,1,3),c_2=(4,-2,6,6),c_3=(1,1,2,2),c_4=(3,0,2,5),c_5=(2,5,2,1)$. Lo spazio delle colonne di $A$ è il sottospazio di ${ℝ}^4$ generato da

$\{c_1,c_2,c_3,c_4,c_5\}$

Proprietà

Lo spazio delle colonne è anche l'immagine dell'applicazione lineare $L_A:K^n\to K^m$ definita come

$x\mapsto Ax.$

Voci correlate

• Spazio nullo