Insieme limite

In matematica, lTemplate:'insieme limite di una successione $\{x_n\}$ consiste in tutti i suoi punti di accumulazione:

$\omega (x_n)=\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\overline{\{x_k:k>n\}}n\in \mathbb{N}$

dove $\overline{\{x_k:k>n\}}$ è la chiusura di $\{x_k:k>n\}$.

Nello studio dei sistemi dinamici, un insieme limite di un'orbita $\varphi (t,x_0)$ di un sistema dinamico per un punto iniziale $x_0$ è l'insieme dei punti $p$ tali per cui esiste una successione di istanti temporali $t_k\to \pm \mathrm{\infty }$ tale che $\varphi (t_k,x_0)\to p$ per $k\to \mathrm{\infty }$.

Gli insiemi limite forniscono informazioni sul comportamento a lungo termine di un sistema dinamico; esempi particolarmente studiati sono gli insiemi limite in corrispondenza di punti periodici (punti fissi) della traiettoria percorsa dal sistema, ad esempio orbite periodiche (cicli limite) e diversi altri attrattori.

Sistemi dinamici discreti

Sia $X$ uno spazio metrico e sia $f:X\to X$ una funzione continua la cui iterazione definisce un sistema dinamico discreto. LTemplate:'insieme $\omega$-limite di un punto $x\in X$, indicato con $\omega (x,f)$, è l'insieme di tutti i punti di accumulazione della successione $\{f^k(x):k>n\}$ formata dalle orbite passanti per $x$:

$\omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}\overline{\{f^k(x):k>n\}}$

In altri termini, $y\in \omega (x,f)$ se e solo se c'è una successione strettamente crescente di numeri naturali $\{n_k{\}}_{k\in \mathbb{N}}$ tale che $f^{n_k}(x)\to y$ con $k\to \mathrm{\infty }$.

Se $f$ è un omeomorfismo si può definire in modo simile lTemplate:'insieme $\alpha$-limite semplicemente cambiando nella definizione orbita in avanti con orbita inversa, cioè:

$\alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})$

Entrambi gli insiemi sono $f$-invarianti e se $X$ è uno spazio compatto sono compatti e non vuoti.

Sistemi dinamici continui

Dato un generico sistema dinamico, descritto dall'equazione differenziale ordinaria:

$\frac{dx}{dt}=f(x)x\in {ℝ}^n$

sia $x(t)=\varphi (t,x_0)$ la soluzione (o flusso) del sistema per il punto iniziale $x(0)=x_0$, con $\gamma (x_0)$ la corrispondente orbita (l'immagine del flusso). Un punto $x^{\prime }$ è detto punto $\omega$-limite della soluzione $\varphi (t,x_0)$ (punto $\omega$-limite dell'orbita $\gamma (x_0)$) se esiste una successione $t_1,\dots ,t_k,\dots$ di istanti temporali tali che:

$\varphi (t_k,x_0)\to x^{\prime }k\to \mathrm{\infty }$

$t_k\to +\mathrm{\infty }$

L'insieme $\omega$-limite di $\varphi (t,x_0)$ è l'insieme di tutti i punti $\omega$-limite di $\varphi (t,x_0)$ (di $\gamma (x_0)$).

L'insieme $\alpha$-limite si definisce analogamente come l'insieme di tutti i punti $\alpha$-limite della traiettoria $\varphi (t,x_0)$, cioè i punti tali che $\varphi (t_k,x_0)\to x^{\prime }$ per $t_k\to -\mathrm{\infty }$ e $k\to \mathrm{\infty }$.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:EnA. Beck, Continuous flows in the plane , Springer (1974)
• Template:En C. Gutierrez, Smoothing continuous flows on two-manifolds and recurrences Ergodic Theory and Dynam. Syst. , 6 (1986) pp. 17–44
• Template:En O. Hajek, Dynamical systems in the plane , Acad. Press (1968)

Voci correlate

• Ciclo limite
• Insieme di Julia
• Orbita (matematica)
• Sistema dinamico
• Varietà invariante
• Varietà stabile

Collegamenti esterni

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