Orbita (matematica)

Template:Nota disambigua In matematica e in particolare in geometria differenziale, lTemplate:'orbita di un sistema dinamico è una traiettoria percorsa dal sistema nello spazio delle fasi, ovvero una funzione che soddisfa l'equazione che definisce il sistema dinamico stesso.

Se il sistema dinamico è continuo, cioè è determinato da un'equazione differenziale ordinaria autonoma:

$\frac{dX}{dt}=F(X(t))$

con $F:M\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^n$ un campo vettoriale differenziabile definito nello spazio delle fasi $M$, un'orbita è una soluzione $X(t)$ dell'equazione. Dal momento che il flusso ${\mathrm{\Phi }}_t(x):M\to M$ del sistema nel punto $x_0$ è la soluzione quando $x_0$ è preso come il punto di inizio dell'evoluzione del sistema, ovvero ${\mathrm{\Phi }}_t(x_0)\equiv X(t)$, si ha che l'orbita passante per $x_0$ è talvolta scritta come l'insieme:

$\{{\mathrm{\Phi }}_t(x_0):-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }\}$

Definizione

Orbita periodica di un moto armonico.

Dato un sistema dinamico $(T,M,\mathrm{\Phi })$ dove $T$ è un gruppo, $M$ un insieme e $\mathrm{\Phi }:U\to M$, con $U\subset T\times M$, si definisce:

$I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\}$

Allora l'insieme:

${\gamma }_x:=\{\mathrm{\Phi }(t,x):t\in I(x)\}\subset M$

è l'orbita passante per $x$. Se l'orbita consiste in un solo punto allora si dice orbita costante; ad esempio l'orbita in corrispondenza di un punto di equilibrio.

Un'orbita non costante è detta orbita periodica o orbita chiusa se esiste $t\in T$ tale per cui $\mathrm{\Phi }(t,x)=x$ per ogni punto $x$ dell'orbita.

Sistemi dinamici continui (flussi)

Dato un sistema dinamico continuo su $M$ con evoluzione $\mathrm{\Phi }(t,x)$, sia $I(x)\subset ℝ$ un intervallo aperto:

$I(x)=(t_x^{-},t_x^{+})\mathrm{\forall }x\in M$

La curva:

${\gamma }_x^{+}\equiv \{\mathrm{\Phi }(t,x):t\in (0,t_x^{+})\}$

è la semi-orbita positiva passante per $x$, mentre:

${\gamma }_x^{-}\equiv \{\mathrm{\Phi }(t,x):t\in (t_x^{-},0)\}$

è la semi-orbita negativa passante per $x$.

Sistemi dinamici discreti (mappe)

Si consideri un sistema discreto avente funzione di evoluzione (ricorsiva) $\mathrm{\Phi }(t,x):X\to X$, con $t\in \mathbb{N}$ il numero di iterazione. Detto $x\in X$ il punto iniziale, l'orbita passante per $x$ è:

${\gamma }_x\equiv {\gamma }_x^{-}\cup {\gamma }_x^{+}$

dove:

${\gamma }_x^{+}\equiv \{\mathrm{\Phi }(t,x):t\ge 0\}$

e:

${\gamma }_x^{-}\equiv \{\mathrm{\Phi }(-t,x):t\ge 0\}$

Sistemi dinamici in due dimensioni

Dato un sistema di equazioni differenziali in ${ℝ}^2$ del seguente tipo:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=f(x,y)\\ y^{\prime }=g(x,y)\end{array}$

La curva descritta nel piano al variare di $t$ da ogni soluzione $x=x(t)$ e $y=y(t)$ del sistema è la traiettoria del sistema. Se il sistema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy, allora per ogni punto del piano passa un'orbita e una sola del sistema.

Le equazioni del sistema si possono interpretare da un punto di vista cinematico: il sistema descrive il moto di una particella $(x,y)$ la cui velocità $(x^{\prime },y^{\prime })$ è data in ogni punto da $(f(x,y),g(x,y))$. Le orbite del sistema sono le traiettorie chiuse descritte dalla particella e i punti critici sono i punti di equilibrio.

Sistemi dinamici lineari

Template:Vedi anche L'andamento qualitativo delle soluzioni del sistema:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=ax+by\\ y^{\prime }=cx+dy\end{array}$

si ottiene derivando la prima equazione e inserendo al posto di $y^{\prime }$ la seconda:

$x^{″}=a{x}^{\prime }+b(cx+dy)=a{x}^{\prime }+bcx+bdy$

Dalla prima equazione si ricava $by=x^{\prime }-ax$ e sostituendo si ottiene l'equazione lineare:

$x^{″}=(a+d)x^{\prime }+(bc-ad)x$

riordinando i termini:

$x^{″}-(a+d)x^{\prime }+(ad-bc)x=0$

Si è così dimostrato che se $(x(t),y(t))$ è una soluzione del sistema lineare allora le funzioni $x(t)$ e $y(t)$ risolvono l'uguaglianza precedente, la cui equazione caratteristica è:

$p(\lambda )={\lambda }^2-(a+d)\lambda +(ad-bc)=0$

e coincide con il polinomio caratteristico della matrice dei coefficienti del sistema assegnato:

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

ossia:

$\det (\lambda \mathrm{I}-A)$

Dunque le radici:

${\lambda }_{1,2}=\frac{(a+d)\pm \sqrt{(a-d{)}^2+4bc}}{2}$

sono gli autovalori della matrice $A$.

Il comportamento delle soluzioni del sistema dipende dalla natura degli autovalori, e si distinguono i vari casi:

• Nodo stabile: ${\lambda }_{1,2}<0$
• Nodo instabile: ${\lambda }_{1,2}>0$
• Sella (instabile): ${\lambda }_1>0$ e ${\lambda }_1<0$ oppure ${\lambda }_1<0$ e ${\lambda }_1>0$
• Centro (stabile): ${\lambda }_{1,2}=\pm \beta i$
• Fuoco stabile: ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm \beta i$ con $\alpha <0$
• Fuoco instabile: ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm \beta i$ con $\alpha >0$

Bibliografia

• Template:Cita libro

Voci correlate

• Ciclo limite
• Insieme limite
• Punto periodico
• Sistema dinamico
• Stabilità interna
• Teorema di LaSalle
• Teorema di Sharkovsky
• Traiettoria
• Varietà stabile