Punto fisso

In matematica, un punto fisso per una funzione definita da un insieme in sé è un elemento coincidente con la sua immagine.

Definizione

In matematica, un punto fisso per una funzione $f:A\to A$ definita su un insieme $A$ è un elemento $x$ in $A$ tale che:

$x=f(x)$

Si tratta di un punto che la funzione mappa in sé stesso.

Teoremi di esistenza

Template:Vedi anche Alcuni teoremi molto importanti in matematica asseriscono che alcune funzioni da un insieme in sé hanno dei punti fissi. Questi teoremi si applicano in analisi matematica, analisi funzionale e topologia. Di questi, i più noti sono il teorema del punto fisso di Banach (teorema delle contrazioni) e il teorema del punto fisso di Brouwer.

La proprietà topologica del punto fisso

Uno spazio topologico $X$ si dice avere la proprietà del punto fisso se per ogni funzione continua $f:X\to X$ esiste un $x\in X$ tale che $f(x)=x$. La proprietà del punto fisso è un invariante topologico, cioè viene preservata dagli omeomorfismi. Inoltre, viene preservata dalle retrazioni.

Per il teorema del punto fisso di Brouwer tutti i sottoinsiemi compatti e convessi di uno spazio euclideo posseggono la proprietà del punto fisso. La sola compattezza non garantisce tale proprietà, e la convessità non è neppure una proprietà topologica, quindi ha senso chiedersi quali condizioni sulla topologia di uno spazio siano necessarie e sufficienti perché si abbia la proprietà del punto fisso. Nel 1932 Borsuk congetturò che la proprietà fosse posseduta da ogni spazio topologico compatto e contraibile. Il problema rimase aperto per 20 anni finché Kinoshita trovò un esempio di spazio compatto e contraibile che non aveva la proprietà del punto fisso.

Sistemi dinamici

Iterazione del punto fisso di x_n+1 = cos x_n con valore iniziale x₁ = −1.

Nello studio dei sistemi dinamici, ogni punto di un'orbita periodica è un punto fisso per l'orbita.

Esempi

Sono funzioni con punti fissi:

• Una rotazione del piano intorno ad un punto $P$ assegnato: in questo caso $P$ è l'unico punto fisso della rotazione.
• Una riflessione del piano rispetto ad una retta: ogni punto della retta è un punto fisso.
• Se la funzione polinomiale $f$ sui numeri reali è definita da:

$f(x)=x^2-3x+4$

Allora 2 è un punto fisso per $f$: infatti, un calcolo diretto mostra che $f(2)=2$.

Sono funzioni senza punti fissi:

• Una rotazione della circonferenza di un angolo diverso da zero (o di un multiplo di 2π) è una funzione senza punti fissi sulla circonferenza.
• Una traslazione diversa dalla identità non ha punti fissi (la traslazione può essere definita su uno spazio vettoriale o anche su un gruppo).

Bibliografia

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Voci correlate

• Iterazione di punto fisso
• Punto periodico
• Orbita (matematica)
• Teorema del punto fisso di Brouwer
• Teorema delle contrazioni
• Teorema di Sharkovsky
• Teoremi di punto fisso

Collegamenti esterni

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