Ciclo limite

Nello studio dei sistemi dinamici, un ciclo limite è un'orbita periodica isolata, ovvero tale per cui non esistono altre orbite periodiche nelle vicinanze e tutte le traiettorie compiute dal sistema che sono sufficientemente vicine convergono ad essa per $t\to \pm \mathrm{\infty }$.

Un punto periodico $x_0$ è un punto dello spazio delle fasi tale per cui la traiettoria $x(t,x_0)$ del sistema dinamico ritorna al punto di partenza dopo un tempo $T$, ovvero è una funzione periodica con periodo $T$:

$x(t+T,x_0)=x(t,x_0)$

$x(t+t^{\prime },x_0)\ne x(t,x_0)0<t^{\prime }<T$

Un'orbita periodica (anche detta orbita chiusa) è data dall'insieme di tali punti periodici:

$\varphi (t,x_0)=\{x(t,x_0):0\le t\le T\}$

Un ciclo limite è un'orbita periodica isolata, tale per cui esiste almeno una traiettoria che converge ad essa per $t\to \pm \mathrm{\infty }$. In due dimensioni, si dimostra che se $\varphi (x_0)$ è un'orbita periodica non costante di un sistema dinamico:

${x_1}^{\prime }=f_1(x_1,x_2)$

${x_2}^{\prime }=f_2(x_1,x_2)$

e non vi sono altre orbite periodiche nelle vicinanze, allora ogni traiettoria che passa o inizia per un punto sufficientemente vicino a $x_0$ converge a $\varphi (x_0)$ per $t\to +\mathrm{\infty }$ o $t\to -\mathrm{\infty }$. In tal caso $\varphi (x_0)$ viene detta ciclo limite.

Bibliografia

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• Template:En Philip Hartman, "Ordinary Differential Equation", Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
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• Template:En Lawrence Perko, "Differential Equations and Dynamical Systems", Springer-Verlag, 2006.
• Template:En Arthur Mattuck, Limit Cycles: Existence and Non-existence Criteria, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

Voci correlate

• Attrattore
• Insieme limite
• Moto armonico
• Orbita (matematica)
• Punto periodico

Collegamenti esterni

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