Flusso (matematica)

In matematica, in particolare nello studio delle equazioni differenziali ordinarie, un flusso generalizza il concetto di funzione iterata n volte in modo che il numero di iterazioni n diventi un parametro continuo. Più rigorosamente, un flusso è un'azione di gruppo di un gruppo ad un parametro.

È utilizzato in ingegneria e fisica per formalizzare le soluzioni dell'equazione che descrive un sistema dinamico.

L'idea di un vettore di flusso, cioè il flusso di un campo vettoriale, è utilizzata nei più disparati ambiti, come la topologia differenziale, la geometria di Riemann e i gruppi di Lie. Alcuni esempi di vettori di flusso sono il flusso geodetico, il campo vettoriale hamiltoniano, il flusso di Ricci e il flusso di Anosov.

Definizione

Un flusso definito su un insieme $X$ è un'azione di gruppo di $(ℝ,+)$ su $X$. Più esplicitamente, un flusso è una funzione $\phi :X\times ℝ\to X$ con $\phi (x,0)=x$ e tale da essere coerente con la struttura di un gruppo ad un parametro:

$\phi (\phi (x,t),s)=\phi (x,t+s)$

per ogni $s,t$ in $ℝ$ e con $x\in X$.

L'insieme $𝒪(x,\phi )=\{\phi (x,t):t\in ℝ\}$ è chiamato orbita di $x$ attraverso $\phi$.

Normalmente è richiesto che un flusso sia compatibile con le strutture definite su $X$, ad esempio se $X$ è uno spazio topologico si richiede solitamente che il flusso sia una funzione continua (in questo modo il flusso forma un sottogruppo ad un parametro di omeomorfismi). In molti casi $X={ℝ}^n$, oppure è una varietà differenziabile con $\phi$ una funzione differenziabile (che forma un sottogruppo ad un parametro di diffeomorfismi).

Un flusso locale è un flusso definito su un sottoinsieme:

$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\phi )=\{(x,t)|t\in [a_x,b_x],a_x<0<b_x,x\in X\}\subset X\times ℝ$

e si introduce in genere quando si trattano flussi di campi vettoriali.

In molti campi, come in ingegneria, in fisica e nello studio delle equazioni differenziali, è diffusa una particolare notazione in cui il flusso è scritto implicitamente come $x(t,x_0)\equiv {\varphi }_t(x_0)$, intendendo che la variabile $x$ dipende dal tempo $t$ e dal punto iniziale $x_0$.

Sistemi dinamici

Un comune esempio di flusso in fisica matematica sono le soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria autonoma, usata per descrivere i sistemi dinamici:

$y^{\prime }=f(y)y(t=0)=x_0$

dove il flusso ${\psi }_t(x_0)$ corrispondente all'orbita (evoluzione del sistema nello spazio delle fasi) per il punto iniziale $x_0$ è l'unica soluzione al problema ai valori iniziali dato.

Bibliografia

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• Template:En G.W. Mackey, Point realizations of transformation groups Illinois J. Math.

Voci correlate

• Campo vettoriale
• Equazione differenziale ordinaria
• Orbita (matematica)
• Sistema autonomo (matematica)
• Varietà stabile

Collegamenti esterni

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