Integrale di Riemann

Rappresentazione grafica dell'approssimazione numerica dell'integrale di Riemann

In analisi matematica, lTemplate:'integrale di Riemann è un operatore integrale tra i più utilizzati in matematica. Formulato da Bernhard Riemann, si tratta della prima definizione rigorosa di integrale di una funzione su un intervallo a essere stata formulata.

Definizione

Si consideri una funzione continua $f:[a,b]\subset ℝ\to ℝ$, che su tale intervallo risulta limitata in virtù del teorema di Weierstrass. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione $𝒫=\{x_0,x_1,\dots ,x_{n-1},x_n|x_0=a<x_1<\dots <x_{n-1}<x_n=b\}$ in $n$ intervalli $[x_i,x_{i+1}]\subset [a,b]$. Si definisce il calibro di una partizione $𝒫$ il massimo tra le ampiezze di tutti gli intervalli della partizione scelta, cioè

$c_{𝒫}:=\underset{i=0,\dots ,n-1}{\max }\{x_{i+1}-x_i\}.$

Per ogni intervallo $[x_i,x_{i+1}]$ si scelga arbitrariamente un elemento $t_i\in [x_i,x_{i+1}]$ e si definisca la somma di Riemann come:

${\sigma }_n=\sum _{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i).$

Alcune scelte comuni sono

• $t_i=x_i,$ in tal caso si ha una somma sinistra di Riemann;
• $t_i=x_{i+1},$ in tal caso si ha una somma destra di Riemann;
• $t_i=\frac{x_{i+1}+x_i}{2},$ in tal caso si ha una somma media di Riemann.

La funzione $f$ è integrabile secondo Riemann o Riemann-integrabile in $[a,b]$ se esiste finito il limite (che si dimostra non dipendere dalla scelta dei $t_i$):

$\underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }{\sigma }_n=:\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x.$

Integrale multiplo di Riemann

Template:Vedi anche Sia $N\subset {ℝ}^n$ un dominio normale, $f:N\to {ℝ}^n$ limitata e $\mu$ una misura. Sia $𝒫=\{N_1,\dots ,N_k\}$ una partizione di $N$ in domini normali.

Si definisce la somma di Riemann-Darboux come:

${\sigma }_k=\sum _{i=1}^k\mu (N_i)\underset{x\in N_i}{f(x)}.$

In generale la funzione $f$ è integrabile in $N$ se esiste finito il limite:

$\underset{\mu (N_i)\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^k\mu (N_i)\underset{x\in N_i}{f(x)}=\underset{N}{\int }f(x)\mathrm{d}{x}_1\dots \mathrm{d}{x}_n.$

Proprietà

Riemman-integrabilità e Darboux-integrabilità

Template:Vedi anche In generale una funzione è Riemann-integrabile se e solo se è Darboux-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro.

Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e siano $\alpha ,\beta \in ℝ$. Allora:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\beta \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx.$

Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a,b]$ e sia $c\in [a,b]$. Allora:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Monotonia

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e $f(x)\le g(x)$. Allora:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx.$

Valore assoluto

Sia $f$ integrabile in un intervallo $[a,b]$, allora si ha:

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx.$

Integrabilità in un sotto intervallo

Sia $f:[a,b]\to ℝ$ integrabile e $\alpha ,\beta \in ℝ$ tali che $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b].$ Allora $f$ è integrabile in $[\alpha ,\beta ]$

Osservazione

Le proprietà sono state enunciate nella casistica in cui $a<b.$ Non tutte le proprietà enunciate valgono nel caso in cui gli estremi vengono scambiati ossia nel caso $b<a;$ in questa situazione molte delle proprietà enunciate necessitano un riadattamento.

Integrale di Stieltjes

Una possibile generalizzazione dell'integrale di Riemann è data dall'integrale di Riemann-Stieltjes, che rende possibile estendere la nozione di integrale utilizzando come variabile di integrazione sotto il segno di differenziale una funzione (detta integratrice):

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\mathrm{d}g.$

Se la funzione $g$ è differenziabile, vale la formula $\mathrm{d}g(x)=g^{\prime }(x)\mathrm{d}x$, e l'integrale di Riemann-Stieltjes coincide con quello di Riemann di $f{g}^{\prime }$, cioè:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}g(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$

L'integrale di Riemann-Stieltjes è tuttavia definito anche nel caso di funzioni integratrici più generiche, che non possiedono derivata, o che sono discontinue.

L'integrale di Riemann-Stieltjes generalizza l'integrale di Riemann in maniera diversa da quello di Lebesgue, e gli insiemi delle funzioni integrabili tramite i due metodi non sono sovrapponibili. È possibile tuttavia ottenere una generalizzazione di entrambi i metodi tramite l'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Bibliografia

• Giuseppe Scorza Dragoni - Elementi di analisi matematica I,II, III - Padova
• Mauro Picone, Gaetano Fichera - Lezioni di analisi matematica I,II - Roma
• Jean Favard - Cours d'analyse I,II - Parigi
• Federico Cafiero - Misura di integrazione - Roma
• Mauro Picone, Tullio Viola - Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione - Torino
• Henri Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche de functions primitives - Parigi (1904)
• Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica - Torino (1920)
• Ernesto Cesaro - Elementi di calcolo infinitesimale - Napoli
• Tom M. Apostol - Calcolo, Volume primo, Analisi 1 - Bollati Boringhieri
• Michiel Berstch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano
• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, 1998, ISBN 9788820728199, capitolo 8.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica Due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203, capitolo 8.

Voci correlate

• Integrale
• Integrale improprio
• Integrale di Lebesgue
• Integrale sui cammini
• Derivata
• Funzione sommabile
• Metodi di integrazione
• Passaggio al limite sotto segno di integrale

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• The Integrator - Calcolo formale di primitive (Wolfram Research)
• Interactive Multipurpose Server (WIMS)