Dominio semplice

I domini delle funzioni a più variabili possono presentare una forma di regolarità per cui è possibile delimitare la regione da intervalli e grafici di funzione. Si parla quindi di dominio semplice o normale rispetto alla variabile delimitabile da un intervallo. La normalità di un dominio è molto importante in molte definizioni di integrale multiplo e della sua risoluzione tramite le formule di riduzione. Inoltre la presenza di un dominio regolare permette ulteriori teoremi e formule d'integrazione, come le formule di Gauss-Green, il teorema della divergenza e il teorema del rotore.

Domini normali nel piano

In ${ℝ}^2$ esistono due casi di normalità, rispetto agli assi:

Dominio normale rispetto all'asse x

La regione è delimitata per l'asse $x$ da due valori numerici e per l'asse $y$ da due funzioni della variabile $x$ continue nell'intervallo che la delimita:

$D=\{(x,y)\in {ℝ}^2|a\le x\le b,f(x)\le y\le g(x),f,g\in C[a,b]\}.$

Dominio normale rispetto all'asse y

La regione è delimitata per l'asse $y$ da due valori numerici e per l'asse $x$ da due funzioni della variabile $y$ continue nell'intervallo che la delimita:

$D=\{(x,y)\in {ℝ}^2|a\le y\le b,f(y)\le x\le g(y),f,g\in C[a,b]\}.$

Domini normali nello spazio

Esempio di dominio normale in R3 (piano xy)

In ${ℝ}^3$ esistono sei tipi diversi di normalità, rispetto ai piani coordinati. Sia $T\subset {ℝ}^3$ l'insieme considerato e $D$ la proiezione ortogonale di $T$ sul piano coordinato fissato, allora si hanno le seguenti sei possibilità:

Dominio normale rispetto al piano (x,y)

$T$ è normale al piano $(x,y)$

• con $D$ normale all'asse $x;$
• con $D$ normale all'asse $y.$

Dominio normale rispetto al piano (y,z)

$T$ è normale al piano $(y,z)$

• con $D$ normale all'asse $y;$
• con $D$ normale all'asse $z.$

Dominio normale rispetto al piano (z,x)

$T$ è normale al piano $(z,x)$

• con $D$ normale all'asse $x;$
• con $D$ normale all'asse $z.$

Nell'esempio in figura il dominio semplice è il cilindroide con "base" $D$ e compreso tra le funzioni $a(x,y)$e $b(x,y)$:

$T=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3|(x,y)\in D,a(x,y)\le z\le b(x,y)\}$, con $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2|a\le y\le b,f(y)\le x\le g(y)\}.$

In generale in ${ℝ}^n$ il numero dei domini semplici è dato dalla relazione $n!$, ossia tutte le possibili combinazioni tra versori.

Dominio normale regolare e orientamento della frontiera

Dominio normale regolare

Un dominio normale regolare è per definizione un dominio normale la cui frontiera è unione di un numero finito di curve di classe ${𝒞}^1$. Inoltre un dominio regolare $N$ è sempre descrivibile come l'unione di un numero finito di domini normali regolari $N_i$, a due a due privi di punti interni in comune:

$N=\bigcup _{i=1}^n{N}_i.$

Orientamento della frontiera

Sia $D\subset {ℝ}^2$ dominio regolare, convenzionalmente si dice che $\partial D$ è orientata positivamente se è rappresentata da un numero finito di curve regolari a tratti ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_k\in {𝒞}^1$ tali che i versori normali $N_1(t),\dots ,N_k(t)$ canonicamente associati puntano verso l'esterno. Pertanto la sua frontiera ammette versore tangente e versore normale in ogni suo punto, tranne, al più, un numero finito. Tale orientamento si indica con $+\partial D$.

Lemma sulla decomposizione dei normali

Siano $D\subset {ℝ}^2$ e $E\subset {ℝ}^3$ domini normali si ha che $\mathrm{\forall }\delta ,\epsilon >0$ esiste una decomposizione di $D$ e di $E$ del tipo $D=\bigcup _{i=1}^n{D}_i$ e $E=\bigcup _{i=1}^n{E}_i$ tali che:

1. $D_i$ ed $E_i$ sono domini normali;
2. $D_i^{{}^{{}^{\circ }}}\cap D_j^{{}^{{}^{\circ }}}=\varnothing$ e $E_i^{{}^{{}^{\circ }}}\cap E_j^{{}^{{}^{\circ }}}=\varnothing ,\mathrm{\forall }i\ne j;$
3. $\mathrm{diam}(D_i)<\delta$ e $\mathrm{diam}(E_i)<\epsilon ,\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n,$ dove $\mathrm{diam}(A):=\sup \{\Vert x-y\Vert |x,y\in A\subset {ℝ}^n\}$ è il diametro del dominio.

Bibliografia

• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Nicola Fusco Analisi Matematica Due, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2675-0, 1996.

Voci correlate

• Dominio (matematica)
• Integrale multiplo