Operatore unitario

In geometria, un operatore unitario, detto anche trasformazione unitaria, è un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare, e si tratta pertanto della generalizzazione del concetto di isometria al campo complesso.

Gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali costituiscono l'insieme delle matrici unitarie. Nel caso possiedano tutti gli elementi reali, le matrici unitarie sono dette matrici ortogonali e sono corrispondenti agli operatori unitari su ${ℝ}^n$.

Definizione

Si definisce operatore unitario un isomorfismo $U:{\mathscr{H}}_1\to {\mathscr{H}}_2$ tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare:

$(\varphi ,\psi )=(U\varphi ,U\psi )\mathrm{\forall }\varphi ,\psi \in {\mathscr{H}}_1$

In modo equivalente, un operatore unitario è un operatore tale che:

$U^{†}U=U{U}^{†}=1$

dove si indica con $U^{†}$ l'aggiunto dell'operatore $U$.

In particolare, la norma di un operatore unitario è unitaria:

$\Vert U\Vert =1$

In spazi vettoriali a dimensione finita la suriettività è garantita dal fatto che un operatore unitario è un isomorfismo, e da essa discende l'invertibilità.

Spettro

Lo spettro di un operatore unitario $U$ giace sulla circonferenza unitaria, ovvero per ogni numero $\lambda \in ℂ$ nello spettro si ha $|\lambda |=1$. Questo fatto può essere visto come una conseguenza del teorema spettrale per operatori normali, che stabilisce che $U$ è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione $f\in L^2(\mu )$ misurabile rispetto alla sigma-algebra di uno spazio di misura finito $(X,\mu )$ con misura di Borel $\mu$. Allora, dal momento che $U{U}^{†}=I$ implica $|f(x){|}^2=1$ quasi ovunque rispetto a $\mu$, lo spettro essenziale di $f$, e dunque lo spettro di $U$, è contenuto nella circonferenza unitaria.

Linearità

La linearità di un operatore unitario può essere derivata a partire dalla linearità del prodotto interno definito positivo:

$⟨\lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x)⟩$

$=\Vert \lambda \cdot Ux{\Vert }^2+\Vert U(\lambda \cdot x){\Vert }^2-⟨U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux⟩-⟨\lambda \cdot Ux,U(\lambda \cdot x)⟩$

$=|\lambda {|}^2\cdot \Vert Ux{\Vert }^2+\Vert U(\lambda \cdot x){\Vert }^2-\bar{\lambda }\cdot ⟨U(\lambda \cdot x),Ux⟩-\lambda \cdot ⟨Ux,U(\lambda \cdot x)⟩$

$=|\lambda {|}^2\cdot \Vert x{\Vert }^2+\Vert \lambda \cdot x{\Vert }^2-\bar{\lambda }\cdot ⟨\lambda \cdot x,x⟩-\lambda \cdot ⟨x,\lambda \cdot x⟩$

$=0$

In modo analogo si ottiene:

$⟨U(x+y)-(Ux+Uy),U(x+y)-(Ux+Uy)⟩=0$

Bibliografia

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Voci correlate

• Isomorfismo
• Matrice invertibile
• Matrice trasposta coniugata
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto

Collegamenti esterni

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