Norma matriciale

In matematica, una norma matriciale è la naturale estensione alle matrici del concetto di norma definito per i vettori.

Definizione

Una norma sullo spazio vettoriale $K^{m\times n}$ delle matrici a elementi nel campo $K$ è una funzione $\Vert \cdot \Vert :K^{m\times n}\to {ℝ}^{+}$ tale che per ogni coppia di matrici $A$ e $B$ e per ogni scalare $\lambda \in K$ si verifica:

• $\Vert A\Vert =0$ se e solo se $A=0$ (matrice nulla)
• $\Vert \lambda A\Vert =|\lambda |\Vert A\Vert$
• $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$

Si riconoscono quindi esattamente le stesse proprietà delle norme vettoriali; ciò riflette il fatto che lo spazio delle matrici è isomorfo allo spazio di vettori $K^{mn}$ (per esempio tramite l'applicazione che manda una matrice nel vettore che contiene una dopo l'altra le sue righe) e quindi una norma matriciale deve avere perlomeno le stesse proprietà di una norma vettoriale.

In più, se $m=n$, cioè le matrici sono quadrate, generalmente si chiede che venga soddisfatta anche la proprietà di sub-moltiplicatività:

• $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$

Se è vera la sub-moltiplicatività si ricava subito che per la matrice identità vale $\Vert I\Vert =\Vert I\cdot I\Vert \le \Vert I\Vert \Vert I\Vert \Rightarrow \Vert I\Vert \ge 1$.

Lo spazio $K^{n\times n}$ munito di una norma sub-moltiplicativa è un esempio di algebra di Banach.

Norma indotta

Se è data una norma su $K^n$ ($K$ saranno i numeri reali o i numeri complessi), che per distinguere si indicherà con $|\cdot |$, allora è definita una norma su $K^{m\times n}$, detta norma indotta, in questo modo:

$\Vert A\Vert =\underset{|x|=1}{\sup }|Ax|=\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{|Ax|}{|x|}$

Essa coincide con la norma della trasformazione lineare $A:x\mapsto Ax$ associata alla matrice, vista come operatore lineare continuo tra spazi di Banach, che si dà in analisi funzionale.

Nel caso quadrato, questa norma risulta sub-moltiplicativa se viene usato lo stesso tipo di norma sia nel dominio sia nel codominio. Per esempio, se per i vettori utilizziamo una delle norme p otteniamo delle norme, che si chiameranno sempre norme p, così definite:

$\Vert A{\Vert }_p=\underset{|x{|}_p=1}{\sup }|Ax{|}_p$

Nel caso $p=1$, la norma si dice anche norma operatoriale.

Proprietà

Per una norma indotta è sempre vero che $\Vert I\Vert =1$ e che $|Ax|\le \Vert A\Vert |x|$. Per una norma qualsiasi, se ciò accade allora si dice che la norma è compatibile rispetto alla norma $|\cdot |$.

Per alcuni valori particolari di $p$ si dimostra che valgono alcune identità che facilitano il calcolo:

$\Vert A{\Vert }_1=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }\sum _{i=1}^m|a_{ij}|$

$\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$

Ne segue immediatamente che $\Vert A{\Vert }_1=\Vert A^t{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$; dunque se $A$ è simmetrica $\Vert A{\Vert }_1=\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$. In più, se $m=n$ vale:

$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{\rho (A^{*}A)}$

dove $A^{*}$ è la trasposta coniugata di $A$ (la trasposta nel caso reale) e $\rho (A^{*}A)$ è il raggio spettrale di $A^{*}A$, cioè il massimo tra i suoi autovalori in valore assoluto. Il caso $p=2$ è detto anche norma spettrale. Se $A$ è simmetrica allora l'uguaglianza si riduce a:

$\Vert A{\Vert }_2=\rho (A)$

Vale anche sempre che:

$\Vert A{\Vert }_2\le \sqrt{\Vert A{\Vert }_1\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}}$

Qualsiasi norma indotta soddisfa la disuguaglianza:

$\Vert A\Vert \ge \rho (A)$

e inoltre vale che:

$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert A^r{\Vert }^{1/r}=\rho (A)$

Template:AnchorNorma compatibile

Una norma matriciale $\Vert \cdot {\Vert }_{ab}$ su $K^{m\times n}$ è detta compatibile con una norma vettoriale $\Vert \cdot {\Vert }_a$ su $K^n$ e una norma vettoriale $\Vert \cdot {\Vert }_b$ su $K^m$ se:

$\Vert Ax{\Vert }_b\le \Vert A{\Vert }_{ab}\Vert x{\Vert }_a$

per ogni $A\in K^{m\times n}$ e per ogni $x\in K^n$. Tutte le norme indotte sono compatibili per definizione.

Altre norme

Diffuse sono anche le norme che valutano la matrice "componente per componente", cioè equiparandola al vettore avente come componenti le entrate della matrice. Per esempio, i corrispettivi delle norme p vettoriali per le matrici, che si chiameranno sempre norme p (ma che sono distinte dalle norme p indotte), sono:

$\Vert A{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^p)}^{1/p}$

In quanto sostanzialmente sono norme vettoriali, queste norme p sono sub-moltiplicative.

Come prima, il caso $p=2$ assume una certa importanza: esso viene detto anche norma di Frobenius ed è definibile anche come:

$\Vert A{\Vert }_2=\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^2}=\sqrt{\text{tr}(A*A^T)}=\sqrt{\sum _{i=1}^{\min \{m,n\}}{\sigma }_i^2}$

dove $\text{tr}(A*A^T)$ è la traccia di $A*A^T$ e ${\sigma }_i$ sono i valori singolari di $A$.

Una proprietà singolare della norma di Frobenius è che se con $A_i$ indichiamo le colonne di $A$, allora vale la seguente uguaglianza:

$\Vert A{\Vert }_F^2=\Vert A_1{\Vert }_2^2+\Vert A_2{\Vert }_2^2+\dots +\Vert A_n{\Vert }_2^2$

Norme equivalenti

Per ogni coppia di norme matriciali $\Vert \cdot {\Vert }_p$ e $\Vert \cdot {\Vert }_q$ valgono le disuguaglianze:

$c_1\Vert A{\Vert }_p\le \Vert A{\Vert }_q\le c_2\Vert A{\Vert }_p{c}_1,c_2>0$

cioè le due norme sono equivalenti. Esse quindi inducono la stessa topologia su $K^{m\times n}$.

Di seguito sono riportati alcuni esempi di tali costanti $c_1,c_2$ per una matrice reale:

• $\Vert A{\Vert }_2\le \Vert A{\Vert }_F\le \sqrt{n}\Vert A{\Vert }_2$
• $\Vert A{\Vert }_{max}\le \Vert A{\Vert }_2\le \sqrt{mn}\Vert A{\Vert }_{max}$
• $\frac{1}{\sqrt{n}}\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert A{\Vert }_2\le \sqrt{m}\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$
• $\frac{1}{\sqrt{m}}\Vert A{\Vert }_1\le \Vert A{\Vert }_2\le \sqrt{n}\Vert A{\Vert }_1$

dove $\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ rappresenta la norma infinito indotta e $\Vert A{\Vert }_{max}$ la sua norma uniforme, cioè il massimo dei moduli dei suoi elementi.

Bibliografia

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• Template:En Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000. [1]
• Template:En John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
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• Template:En Higham, N. J. "Matrix Norms." §6.2 in Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Philadelphia: Soc. Industrial and Appl. Math., 1996.
• Template:En Horn, R. A. and Johnson, C. R. "Norms for Vectors and Matrices." Ch. 5 in Matrix Analysis. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Matrice
• Norma (matematica)
• Norma operatoriale
• Norma uniforme
• Operatore lineare continuo
• Spazio normato

Collegamenti esterni

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