Operatore normale

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un operatore normale in uno spazio di Hilbert (complesso), o equivalentemente in una C*-algebra, è un operatore lineare continuo che commuta con il suo aggiunto. Questi operatori sono importanti per il fatto che ad essi si applica il teorema spettrale.

Inoltre, nel caso finito-dimensionale, la matrice associata a un operatore normale rispetto a una base ortonormale dello spazio di Hilbert è una matrice normale.

Definizione

Dato uno spazio di Hilbert $H$ definito sul campo dei numeri complessi, un endomorfismo $N:H\to H$ si dice normale se:

$N{N}^{*}=N^{*}N$

In modo equivalente, $N$ è normale se e solo se:

$\Vert N(v)\Vert =\Vert N^{*}(v)\Vert \mathrm{\forall }v\in H$

Si ha inoltre che:

$\text{Ker}(N^{*})=\text{Ker}(N)$

$\text{Im}(N^{*})=\text{Im}(N)$

Tra gli endomorfismi normali vi sono gli endomorfismi autoaggiunti, gli endomorfismi emisimmetrici e gli endomorfismi unitari.

Il teorema spettrale

Template:Vedi anche Gli operatori normali sono soggetti al teorema spettrale: gli autovalori, in questo caso, sono in generale numeri complessi.

Sia $T$ un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione finita $n$, dotato di un prodotto hermitiano, cioè di una forma hermitiana definita positiva. Il teorema spettrale afferma che $T$ è un operatore normale se e solo se esiste una base ortonormale di $V$ composta da autovettori di $T$. L'endomorfismo $T$ è quindi diagonalizzabile.

Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria, ovvero per ogni matrice normale $H$ esistono una matrice unitaria $U$ ed una diagonale $D$ per cui:

$D=U^{-1}HU={}^t\overline{U}HU$

I vettori colonna di $U$ sono gli autovettori di $A$ e sono reciprocamente ortogonali.

Come corollario segue che l'operatore $T$ è autoaggiunto se e solo se la base ortonormale conta solo autovalori reali, mentre se $T$ è unitario il modulo degli autovalori è 1. In particolare, gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti reali, mentre quelli di una matrice unitaria sono di modulo 1.

Decomposizione spettrale

Template:Vedi anche Il teorema spettrale fornisce le condizioni per cui sia possibile diagonalizzare un operatore rispetto ad una base ortonormale. Quando questo risulta possibile nel caso finito-dimensionale, ad autovalori distinti corrispondono autovettori mutuamente ortogonali, e pertanto gli autospazi sono in somma diretta. Un operatore normale può, di conseguenza, essere scritto come una combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi, i cui coefficienti sono gli autovalori relativi ad ogni autospazio.

Nel caso infinito-dimensionale la normalità, ed in particolare l'autoaggiuntezza, non garantisce la diagonalizzabilità. In generale un operatore normale non può essere più scritto come combinazione lineare di proiettori ortogonali. Attraverso la misura a valori di proiettore è tuttavia possibile ottenere una scrittura integrale che permette di descrivere l'operatore in termini del suo spettro.

Caso finito-dimensionale

Template:Vedi anche Come conseguenza del teorema spettrale, sia nel caso reale che nel caso complesso, il teorema di decomposizione spettrale afferma che gli autospazi di $T$ sono ortogonali e in somma diretta:

$V=V_{{\lambda }_1}\oplus \dots \oplus V_{{\lambda }_k}$

Equivalentemente, se $P_{\lambda }$ è la proiezione ortogonale su $V_{\lambda }$, si ha:

$A={\lambda }_1{P}_{{\lambda }_1}+\cdots +{\lambda }_k{P}_{{\lambda }_k}{P}_{\lambda }{P}_{\mu }=0\lambda \ne \mu$

La decomposizione spettrale è un caso particolare della decomposizione di Schur. È anche un caso particolare della decomposizione ai valori singolari.

Caso infinito-dimensionale

Template:Vedi anche Sia $A$ un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert $H$. Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore $P^A$ tale per cui:

$A=\underset{\sigma (A)}{\int }zd{P}^A(x,y)z:=(x,y)\to x+iy\in ℂ(x,y)\in {ℝ}^2$

dove $\sigma (A)=\text{supp}(P^A)$ è lo spettro di $A$. Si dice che $P^A$ è la misura a valori di proiettore associata ad $A$.

In particolare, se $A$ è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

$P^A(\mathrm{\Omega })={\chi }_{\mathrm{\Omega }}(A)$

definita sullo spettro $\sigma (A)$ di $A$, in cui ${\chi }_{\mathrm{\Omega }}$ è la funzione indicatrice. Tale misura può essere univocamente associata ad $A$ nel seguente modo:

$(\varphi ,f(A)\psi ):=\underset{\sigma (A)}{\int }f(\lambda )d(\varphi ,P^A(\lambda )\psi )\mathrm{\forall }\varphi ,\psi \in H$

per ogni funzione misurabile limitata $f$, e in tal caso si ha:

$A=\underset{\sigma (A)}{\int }\lambda d{P}^{A}f(A)=\underset{\sigma (A)}{\int }f(\lambda )d{P}^A$

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di $A$.

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) $A$ a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare $A$ tramite una misura a valori di proiettore limitata $P^A$ allora $P^A$ è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad $A$. Ogni operatore limitato autoaggiunto $A$ può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata $P^A$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Diagonalizzabilità
• Matrice normale
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Operatore unitario
• Operatore lineare limitato
• Prodotto scalare
• Spazio di Hilbert
• Teorema spettrale
• Teoria spettrale
• Trasformazione lineare