Operatore momento angolare

L'operatore momento angolare (detto anche momento angolare orbitale) è l'analogo quantistico del momento angolare della meccanica classica, ovvero il momento della quantità di moto. Esso è il generatore delle rotazioni nello spazio.

Definizione

Il momento angolare è il momento della quantità di moto. Esso è pertanto definito come:

$𝐋=𝐫\times 𝐩$

dove $\times$ è il prodotto vettoriale. Classicamente ha componenti cartesiane:

$\{\begin{array}{c}{L}_x=y{p}_z-z{p}_y\\ L_y=z{p}_x-x{p}_z\\ L_z=x{p}_y-y{p}_x\end{array}$

In meccanica quantistica il momento angolare è rappresentato dall'operatore dato da:

$L_x=-i\hslash (y\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial y})$

$L_y=-i\hslash (z\frac{\partial }{\partial x}-x\frac{\partial }{\partial z})$

$L_z=-i\hslash (x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})$

ovvero la riscrittura delle componenti cartesiane classiche mediante l'operatore impulso:

$𝐩=-i\hslash \mathrm{\nabla }$

scritto nella base delle coordinate.

Le rotazioni

In meccanica classica una rotazione di un angolo $\alpha$, intorno ad un asse (per esempio $z$) è descritta da una matrice ortogonale:

$R_z(\alpha )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

analogamente per gli altri assi. In generale una rotazione nello spazio è descritta dalla composizione di tre singole rotazioni sugli assi:

$R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma & \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma & -\sin \beta \cos \gamma \\ -\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma & -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma & \sin \beta \sin \gamma \\ \cos \alpha \sin \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right)$

La matrice $R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )$ è una matrice reale e ortogonale speciale, cioè

$R=R^{*};R^T=R^{-1};\det R=1$.

Le rotazioni infinitesime

Consideriamo rotazioni infinitesime di un angolo $\epsilon$ su ognuno dei tre assi:

$R_z(\epsilon )=\left(\begin{array}{ccc}1-\frac{{\epsilon }^2}{2}& -\epsilon & 0\\ \epsilon & 1-\frac{{\epsilon }^2}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$R_x(\epsilon )=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1-\frac{{\epsilon }^2}{2}& -\epsilon \\ 0& \epsilon & 1-\frac{{\epsilon }^2}{2}\end{array}\right)$

$R_y(\epsilon )=\left(\begin{array}{ccc}1-\frac{{\epsilon }^2}{2}& 0& -\epsilon \\ 0& 1& 0\\ \epsilon & 0& 1-\frac{{\epsilon }^2}{2}\end{array}\right)$

per angoli infinitesimi cioè abbiamo sviluppato in serie di potenze. Ora componiamo le rotazioni $x,y$:

$R_x(\epsilon )\cdot R_y(\epsilon )=\left(\begin{array}{ccc}1-\frac{{\epsilon }^2}{2}& 0& -\epsilon \\ -{\epsilon }^2& 1-\frac{{\epsilon }^2}{2}& -\epsilon \\ \epsilon & \epsilon & 1-{\epsilon }^2\end{array}\right)$

e

$R_y(\epsilon )\cdot R_x(\epsilon )=\left(\begin{array}{ccc}1-\frac{{\epsilon }^2}{2}& -{\epsilon }^2& -\epsilon \\ 0& 1-\frac{{\epsilon }^2}{2}& -\epsilon \\ \epsilon & \epsilon & 1-{\epsilon }^2\end{array}\right)$

Vediamo il commutatore di queste due quantità:

$R_y(\epsilon )\cdot R_x(\epsilon )-R_x(\epsilon )\cdot R_y(\epsilon )=\left(\begin{array}{ccc}0& -{\epsilon }^2& 0\\ {\epsilon }^2& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=R_z({\epsilon }^2)-\hat{I}$

Ebbene le componenti dei momenti angolari su assi diversi non commutano.

Il momento angolare come generatore delle rotazioni nello spazio

Se ${\hat{R}}_z(\alpha )$ è l'operatore di rotazione intorno all'asse $z$ e lo applichiamo ad una funzione d'onda $\psi (x,y,z)$ otteniamo:

${\hat{R}}_z(\alpha )\psi (x,y,z)=\psi (x\cos \alpha +y\sin \alpha ,-x\sin \alpha +y\cos \alpha ,z)$

Considerando invece una rotazione infinitesima, per esempio lungo l'asse $z$:

${\hat{R}}_z(\epsilon )\psi (x,y,z)\simeq \psi (x+\epsilon y,-\epsilon x+y,z)\simeq \psi (x,y,z)+\epsilon (y\frac{\partial \psi }{\partial x}-x\frac{\partial \psi }{\partial y})$

in definitiva:

${\hat{R}}_z(\epsilon )\psi (x,y,z)\simeq (\hat{I}-\frac{i}{\hslash }\epsilon {\hat{L}}_z)\psi (x,y,z)$

Allora l'operatore di rotazione infinitesima è proprio il fattore tra parentesi che come si vede contiene la componente lungo l'asse $\hat{z}$ del momento angolare, per cui l'operatore ${\hat{L}}_z$ è il generatore della rotazione intorno all'asse $\hat{z}$. Poiché una rotazione finita può essere ottenuta come somma di $N$ rotazioni infinitesime: $d\alpha =\frac{\alpha }{N}$, allora:

$\psi (𝐫+d𝐫)={(\hat{I}+\frac{i}{\hslash }\frac{\alpha }{N}\widehat{𝐋})}^N\psi (𝐫)$

dove abbiamo usato la notazione tridimensionale. Facciamo il limite $N\to \mathrm{\infty }$ di questa espressione:

$\psi ({𝐫}^{\prime })=\exp \left(\alpha \frac{i}{\hslash }\widehat{𝐋}\right)\psi (𝐫)$

A conferma di ciò, il teorema di Noether per la Lagrangiana afferma che per ogni simmetria della Lagrangiana, in questo caso l'invarianza per rotazione rispetto ad un asse, per esempio l'asse $j$, vi è una quantità conservata pari a

$Q^j=\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}^i}\delta q^j$.

Tale quantità conservata genera la trasformazione responsabile della simmetria. Nel caso di una rotazione, la trasformazione è

$𝐱⟶{𝐱}^{\prime }=𝐱+\delta 𝐱$

e si ha che

$\delta {𝐱}^{𝐣}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\epsilon x^k}{\epsilon x^i})=\delta q$

perciò:

$Q^j=\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{x}}^i}\delta x^j=\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{x}}^i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\epsilon x^k}{\epsilon x^i})=-p^i\epsilon x^k+p^k\epsilon x^i=\epsilon (x^i{p}^k-x^k{p}^i)=\epsilon L^j$

Le proprietà del momento angolare

In base alle proprietà delle rotazioni nello spazio, l'operatore di rotazione

$\exp \left(\alpha \frac{i}{\hslash }\widehat{𝐋}\right)$

deve avere la proprietà di riprodurre la stessa rotazione per rotazioni identitarie, cioè $\alpha \to 0$:

$\underset{\alpha \to 0}{\lim }\exp \left(\alpha \frac{i}{\hslash }\widehat{𝐋}\right)=\hat{I}$

inoltre le rotazioni successive si devono poter comporre:

$\exp \left({\alpha }_1\frac{i}{\hslash }\widehat{𝐋}\right)\exp \left({\alpha }_2\frac{i}{\hslash }\widehat{𝐋}\right)=\exp [({\alpha }_1+{\alpha }_2)\frac{i}{\hslash }\widehat{𝐋}]$

Inoltre applicando una rotazione diretta e una inversa dello stesso angolo si deve ritornare allo stato iniziale:

$\exp \left({\alpha }_1\frac{i}{\hslash }\widehat{𝐋}\right)\exp (-{\alpha }_1\frac{i}{\hslash }\widehat{𝐋})=\hat{I}$

Proprietà di commutazione

Template:Vedi anche Il commutatore tra due componenti del momento angolare è il seguente:

$\begin{array}{cc}[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y]& =[\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y,\hat{z}{\hat{p}}_x-\hat{x}{\hat{p}}_z]\\ & =[\hat{y}{\hat{p}}_z,\hat{z}{\hat{p}}_x]-\hat{z}[{\hat{p}}_y,{\hat{p}}_x]-[\hat{y},\hat{x}]{\hat{p}}_z+[\hat{z}{\hat{p}}_y,\hat{x}{\hat{p}}_z]\\ & =\hat{y}[{\hat{p}}_z,\hat{z}{\hat{p}}_x]+[\hat{y},\hat{z}{\hat{p}}_x]{\hat{p}}_z+\hat{z}[{\hat{p}}_y,\hat{x}{\hat{p}}_z]+[\hat{z},\hat{x}{\hat{p}}_z]{\hat{p}}_y\\ & =\hat{y}\hat{z}[{\hat{p}}_z,{\hat{p}}_x]+\hat{y}[{\hat{p}}_z,\hat{z}]{\hat{p}}_x+\hat{z}[\hat{y},{\hat{p}}_x]{\hat{p}}_z+[\hat{y},\hat{z}]{\hat{p}}_x{\hat{p}}_z+\hat{z}\hat{x}[{\hat{p}}_y,{\hat{p}}_z]+\hat{z}[{\hat{p}}_y,\hat{x}]{\hat{p}}_z+\hat{x}[\hat{z},{\hat{p}}_z]{\hat{p}}_y+[\hat{z},\hat{x}]{\hat{p}}_z{\hat{p}}_y\\ & =\hat{y}[{\hat{p}}_z,\hat{z}]{\hat{p}}_x+\hat{x}[\hat{z},{\hat{p}}_z]{\hat{p}}_y\\ & =i\hslash (\hat{x}{\hat{p}}_y-\hat{y}{\hat{p}}_x)=i\hslash L_z\\ \end{array}$

dove i commutatori fra le componenti di $\hat{r}$ e $\hat{p}$ risultano tutti nulli, eccetto nel caso $[\hat{j},{\hat{p}}_j]=i\hslash$ con $j=x,y,z$.

Per analogia si trovano gli altri, ricapitolando:

$[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y]=i\hslash {\hat{L}}_z$

$[{\hat{L}}_y,{\hat{L}}_z]=i\hslash {\hat{L}}_x$

$[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_x]=i\hslash {\hat{L}}_y$

Si può costruire l'operatore ${\widehat{𝐋}}^2$, cioè l'operatore:

$\begin{array}{cc}{\widehat{𝐋}}^2& =(\widehat{𝐫}\times \widehat{𝐩}{)}^2=[(\widehat{𝐫}\times \widehat{𝐩}{)}_x{]}^2+[(\widehat{𝐫}\times \widehat{𝐩}{)}_y{]}^2+[(\widehat{𝐫}\times \widehat{𝐩}{)}_z{]}^2\\ & ={\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2\end{array}$

Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare, infatti:

$\begin{array}{cc}[{\hat{L}}_z,{\widehat{𝐋}}^2]& =[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2]\\ & =[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_x^2]+[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_y^2]+[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_z^2]\\ & ={\hat{L}}_x[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_x]+[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_x]{\hat{L}}_x+{\hat{L}}_y[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_y]+[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_y]{\hat{L}}_y\\ & =i\hslash {\hat{L}}_x{\hat{L}}_y+i\hslash {\hat{L}}_y{\hat{L}}_x-i\hslash {\hat{L}}_y{\hat{L}}_x-i\hslash {\hat{L}}_x{\hat{L}}_y\\ & =0\end{array}$

e analogamente:

$[{\hat{L}}_x,{\widehat{𝐋}}^2]=0$

$[{\hat{L}}_y,{\widehat{𝐋}}^2]=0$

cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore ${\widehat{𝐋}}^2$.

Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso.

$[{\hat{L}}_x,\hat{x}]=[\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y,\hat{x}]=[\hat{y}{\hat{p}}_z,\hat{x}]-[\hat{z}{\hat{p}}_y,\hat{x}]=\hat{y}[{\hat{p}}_z,\hat{x}]-[\hat{z},\hat{x}]{\hat{p}}_y-\hat{z}[{\hat{p}}_y,\hat{x}]+[\hat{z},\hat{x}]{\hat{p}}_y=0$

$[{\hat{L}}_x,\hat{y}]=[\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y,\hat{y}]=[\hat{y}{\hat{p}}_z,\hat{y}]-[\hat{z}{\hat{p}}_y,\hat{y}]=\hat{y}[{\hat{p}}_z,\hat{y}]-[\hat{z},\hat{y}]{\hat{p}}_y-\hat{z}[{\hat{p}}_y,\hat{y}]+[\hat{z},\hat{y}]{\hat{p}}_y=-\hat{z}[{\hat{p}}_y,\hat{y}]=i\hslash \hat{z}$

$[{\hat{L}}_x,\hat{z}]=[\hat{y}{\hat{p}}_z-\hat{z}{\hat{p}}_y,\hat{z}]=[\hat{y}{\hat{p}}_z,\hat{z}]-[\hat{z}{\hat{p}}_y,\hat{z}]=\hat{y}[{\hat{p}}_z,\hat{z}]-[\hat{z},\hat{z}]{\hat{p}}_y-\hat{z}[{\hat{p}}_y,\hat{z}]+[\hat{z},\hat{z}]{\hat{p}}_y=\hat{y}[{\hat{p}}_z,\hat{z}]=-i\hslash \hat{y}$

Allo stesso modo ${\hat{L}}_y$ e ${\hat{L}}_z$, in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:

$[{\hat{L}}_i,{\hat{x}}_j]=i\hslash {\epsilon }_{ijk}{\hat{x}}_k$

dove ${\hat{x}}_j=(\hat{x},\hat{y},\hat{z})$ e ${\epsilon }_{ijk}$ è il simbolo di Levi-Civita, che è uguale a $+1$ per permutazioni pari degli indici, $-1$ per permutazioni dispari e $0$ se due indici sono uguali.

Per quanto riguarda le commutazioni con i momenti vale esattamente la stessa cosa:

$[{\hat{L}}_i,{\hat{p}}_j]=i\hslash {\epsilon }_{ijk}{\hat{p}}_k$

Spettro del momento angolare

Template:Vedi anche Le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente, per semplicità ${\hat{L}}_z$. Le equazioni agli autovalori sono:

${\widehat{𝐋}}^2|l⟩=a|l⟩$

${\hat{L}}_z|m⟩=b|m⟩$

dal momento che ${\widehat{𝐋}}^2$ commuta con ${\hat{L}}_z$, essi hanno una base comune di autostati, e pertanto gli autostati $|l⟩$ e $|m⟩$ coincidono, e vengono indicati con $|l,m⟩$.

Bisogna trovare quali sono gli autovalori $l$, $m$, a volte indicati con $l$, $l_z$, oppure con ) simultanei di questi operatori:

$\{\begin{array}{c}{\widehat{𝐋}}^2|l,m⟩=a|l,m⟩\\ {\hat{L}}_z|l,m⟩=b|l,m⟩\end{array}$

Per fare questo vanno introdotti due operatori, detti operatori di scala o operatori scaletta:

${\hat{L}}_{\pm }={\hat{L}}_x\pm i{\hat{L}}_y$

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:

$[{\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_{-}]=2\hslash {\hat{L}}_z$

$[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_{\pm }]=\pm \hslash {\hat{L}}_{\pm }$

$[{\widehat{𝐋}}^2,{\hat{L}}_{\pm }]=0$

L'operatore ${\widehat{𝐋}}^2$ può essere espresso in termini di ${\hat{L}}_z$ e operatori di scala:

${\widehat{𝐋}}^2={\hat{L}}_{+}{\hat{L}}_{-}+{\hat{L}}_z^2-\hslash {\hat{L}}_z={\hat{L}}_{-}{\hat{L}}_{+}+{\hat{L}}_z^2+\hslash {\hat{L}}_z$

Per vedere quale sia il significato di ${\hat{L}}_{\pm }$, vediamo come ${\hat{L}}_z$ agisce sullo stato ${\hat{L}}_{\pm }|l,l_z⟩$:

${\hat{L}}_z({\hat{L}}_{\pm }|l,m⟩)=([{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_{\pm }]+{\hat{L}}_{\pm }{\hat{L}}_z)|l,m⟩=(b\pm \hslash )({\hat{L}}_{\pm }|l,m⟩)$

cioè applicando ${\hat{L}}_{+}$, l'autovalore di ${\hat{L}}_z$ aumenta di $\hslash$, viceversa applicando ${\hat{L}}_{-}$, l'autovalore di ${\hat{L}}_z$ viene diminuito di $\hslash$, da cui il nome di operatori di scala. Invece:

${\widehat{𝐋}}^2({\hat{L}}_{\pm }|l,m⟩)={\hat{L}}_{\pm }{\widehat{𝐋}}^2|l,m⟩=a{\hat{L}}_{\pm }|l,m⟩$

cioè l'applicazione degli operatori ${\hat{L}}_{\pm }$ cambiano gli autovalori di ${\hat{L}}_z$, ma non di ${\widehat{𝐋}}^2$.

Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega ${\widehat{𝐋}}^2$ ed ${\hat{L}}_z$ è:

$⟨l,m|({\widehat{𝐋}}^2-{\hat{L}}_z^2)|l,m⟩=⟨{\widehat{𝐋}}^2-{\hat{L}}_z^2⟩\ge 0$

ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:

$-a\le b\le a$

cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare non possono superare quelli di ${\widehat{𝐋}}^2$: fisicamente ciò significa che $b$ assume il suo valore massimo quando ${\widehat{𝐋}}^2$ coincide con la direzione dell'asse $z$, così la sua proiezione ${\hat{L}}_z$ coincide con ${\widehat{𝐋}}^2$, in tal caso $a=b$. Quindi l'autovalore di ${\hat{L}}_z$ è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere ${\widehat{𝐋}}^2$.

Siano $b_{min}$ il valore minimo e $b_{max}$ il valore massimo che può assumere ${\hat{L}}_z$. Applicando successivamente gli operatori di scala ${\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_{-}$, si capisce che deve essere:

${\hat{L}}_{+}|a,b_{max}⟩=0$

${\hat{L}}_{-}|a,b_{min}⟩=0$

Ora applichiamo

${\widehat{𝐋}}^2|a,b_{max}⟩=({\hat{L}}_{-}{\hat{L}}_{+}+{\hat{L}}_z^2+\hslash {\hat{L}}_z)|a,b_{max}⟩=(b_{max}^2{\hslash }^2+b_{max}{\hslash }^2)|a,b_{max}⟩$

cioè:

$a=(b_{max}^2+b_{max}){\hslash }^2={\hslash }^2{b}_{max}(b_{max}+1)$

Quindi l'autovalore di ${\widehat{𝐋}}^2$ è ${\hslash }^{2}a(a+1)$, dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:

$-a\le b\le a$

e anche qui $b$ deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di $b$ sono distanti $\hslash$ uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di $\hslash$), dove se $k$ è un intero, fissato $a$, vi sono $(2k+1)$ valori di $b$, cioè $b=\{-a,-a+1,\dots ,a\}$ per cui se $a$ è intero lo è anche $b$ e se $a$ è semintero, lo è anche $b$. Si può dimostrare che gli autovalori $a$ sono interi e quindi anche $b$ sono interi: con questa scelta otteniamo infine le equazioni agli autovalori di ${\widehat{𝐋}}^2$ e ${\hat{L}}_z$:

${\widehat{𝐋}}^2|l,m⟩={\hslash }^{2}l(l+1)|l,m⟩$

${\hat{L}}_z|l,m⟩=m\hslash |l,m⟩$

dove $l=0,1,\dots$ è il numero quantico orbitale ed $m=\{-l,-l+1,\dots ,l\}$ è il numero quantico magnetico.

Autofunzioni del momento angolare

Template:Vedi anche Il momento angolare si introduce quando si affrontano problemi a simmetria sferica mediante l'uso delle coordinate sferiche. Non potendo diagonalizzare le tre componenti, si diagonalizzano simultaneamente (dato che commutano) il suo modulo quadro e la sua componente lungo $z$. La sua rappresentazione spaziale è:

$L^2=-\frac{{\hslash }^2}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })-\frac{{\hslash }^2}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}$

Mentre quella lungo $z$ è:

$L_z=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial \varphi }$

Le autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale $L^2$ e della sua componente lungo $z$ sono dette armoniche sferiche, le cui equazioni agli autovalori sono:

$L^2|l,m⟩={\hslash }^{2}l(l+1)|l,m⟩$

$L_z|l,m⟩=\hslash m|l,m⟩$

le armoniche sferiche sono pertanto

$⟨\theta ,\varphi |l,m⟩=Y_{l,m}(\theta ,\varphi )$

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Numero quantico orbitale
• Autofunzioni del momento angolare
• Operatore momento angolare totale
• Composizione di operatori momento angolare
• Coefficienti di Clebsch-Gordan
• Vortice ottico
• Spin