Operatore momento angolare totale

Template:NN In meccanica quantistica, lTemplate:'operatore momento angolare totale è responsabile delle rotazioni nello spazio. Esso ha un significato più esteso rispetto al momento angolare orbitale $\widehat{𝐋}=\widehat{𝐫}\times \widehat{𝐩}$ perché si generalizza anche al momento angolare di spin e soprattutto è usato nella composizione di operatori momento angolare, essendo valido come somma di più momenti angolari e di diversi tipi.

È anche possibile dimostrare che il momento angolare totale $\widehat{𝐉}$ è il generatore delle rotazioni nello spazio.

Formalmente il momento angolare totale ha le stesse regole del momento angolare orbitale e dello spin, per cui con $\widehat{𝐉}$ si può indicare sia $\widehat{𝐋}$, sia $\widehat{𝐒}$ e anche una composizione di momenti $\widehat{𝐉}=\widehat{𝐋}+\widehat{𝐒}$ oppure $\widehat{𝐉}={\widehat{𝐋}}_1+{\widehat{𝐋}}_2$ o ancora $\widehat{𝐉}={\widehat{𝐒}}_1+{\widehat{𝐒}}_2$.

Le proprietà dell'operatore momento angolare totale

L'operatore momento angolare totale, analogamente al momento angolare orbitale, genera le rotazioni lungo un asse: la funzione d'onda $\psi (x)$ ruotata di un angolo $\varphi$ attorno all'asse $z$, diventa:

${\psi }^{\prime }(x)={\hat{R}}_z(\varphi )\psi (x)=e^{i\varphi J_z}\psi (x)$.

Per una rotazione infinitesima si ha:

${\psi }^{\prime }(x)=\psi (x)+id\varphi J_z\psi (x)$.

Proprietà di commutazione

Template:Vedi anche Le proprietà di commutazione per l'operatore momento angolare totale sono:

$[{\hat{J}}_x,{\hat{J}}_y]=i\hslash {\hat{J}}_z$

$[{\hat{J}}_y,{\hat{J}}_z]=i\hslash {\hat{J}}_x$

$[{\hat{J}}_z,{\hat{J}}_x]=i\hslash {\hat{J}}_y$,

dove ${\hat{J}}_x,{\hat{J}}_y,{\hat{J}}_z$ sono le proiezioni del momento angolare totale lungo gli assi cartesiani; in forma compatta è possibile scrivere:

$[{\hat{J}}_i,{\hat{J}}_j]=i\hslash {\epsilon }_{ijk}{\hat{J}}_k$,

dove ${\epsilon }_{ijk}$ è il tensore di Levi-Civita.

Partendo dal momento angolare totale, è possibile costruire l'operatore ${\widehat{𝐉}}^2={\hat{J}}_x^2+{\hat{J}}_y^2+{\hat{J}}_z^2$.

Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare totale; infatti:

$[{\hat{J}}_z,{\widehat{𝐉}}^2]=0$

$[{\hat{J}}_x,{\widehat{𝐉}}^2]=0$

$[{\hat{J}}_y,{\widehat{𝐉}}^2]=0$.

È rilevante il comportamento delle componenti del momento angolare totale con gli operatori di posizione e impulso; per quanto riguarda l'operatore di posizione è possibile determinare le seguenti relazioni:

$[{\hat{J}}_x,\hat{x}]=0$

$[{\hat{J}}_x,\hat{y}]=i\hslash \hat{z}$

$[{\hat{J}}_x,\hat{z}]=-i\hslash \hat{y}$.

Allo stesso modo si possono ottenere le analoghe relazioni con ${\hat{J}}_y$ ed ${\hat{J}}_z$; in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse. In forma compatta si ha:

$[{\hat{J}}_i,{\hat{x}}_j]=i\hslash {\epsilon }_{ijk}{\hat{x}}_k$,

dove ${\hat{x}}_j=(\hat{x},\hat{y},\hat{z})$ e ${\epsilon }_{ijk}$ è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a $+1$ per permutazioni pari degli indici, $-1$ per permutazioni dispari e $0$ se $i=j$.

Per quanto riguarda le commutazioni con gli impulsi vale esattamente lo stesso discorso:

$[{\hat{J}}_i,{\hat{p}}_j]=i\hslash {\epsilon }_{ijk}{\hat{p}}_k$.

Spettro dell'operatore momento angolare totale

Template:Vedi anche Si è visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutte singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. È possibile scegliere una sola componente (per esempio ${\hat{J}}_z$) che commuta con ${\widehat{𝐉}}^2$; in questo modo lo stato, che è autostato di entrambi gli operatori, può essere chiamato $|j,j_z⟩$. Si possono trovare quali sono gli autovalori $a,b$ (a volte più propriamente indicati con $j$, $j_z$, oppure con $j$, $m_j$) simultanei di questi operatori:

$\{\begin{array}{c}{\widehat{𝐉}}^2|j,m_j⟩={\hslash }^{2}a|j,m_j⟩\\ {\hat{J}}_z|j,m_j⟩=\hslash b|j,m_j⟩\end{array}$

Per fare questo è necessario introdurre due operatori, detti operatori di scala:

${\hat{J}}_{\pm }={\hat{J}}_x\pm i{\hat{J}}_y$,

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le seguenti proprietà:

$[{\hat{J}}_{+},{\hat{J}}_{-}]=2\hslash {\hat{J}}_z$

$[{\hat{J}}_z,{\hat{J}}_{\pm }]=\pm \hslash {\hat{J}}_{\pm }$

$[{\widehat{𝐉}}^2,{\hat{J}}_{\pm }]=0$.

L'operatore ${\widehat{𝐉}}^2$ può essere espresso in termini di ${\hat{J}}_z$ e operatori di scala ${\hat{J}}_{\pm }$ nel seguente modo:

${\widehat{𝐉}}^2={\hat{J}}_{-}{\hat{J}}_{+}+{\hat{J}}_z^2+{\hat{J}}_z\hslash$.

Se si fa agire ${\hat{J}}_z$ sullo stato ${\hat{J}}_{\pm }|j,m_j⟩$ si ottiene:

${\hat{J}}_z({\hat{J}}_{\pm }|j,m_j⟩)=\hslash (b\pm 1)({\hat{J}}_{\pm }|j,m_j⟩)$.

Applicando ${\hat{J}}_{+}$ l'autovalore di ${\hat{J}}_z$ (cioè $b$) aumenta di $\hslash$; viceversa applicando ${\hat{J}}_{-}$, l'autovalore viene diminuito di $\hslash$, da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando ${\widehat{𝐉}}^2$ si ha:

${\widehat{𝐉}}^2({\hat{J}}_{\pm }|j,m_j⟩)={\hslash }^{2}a{\hat{J}}_{\pm }|j,m_j⟩$,

cioè l'applicazione degli operatori ${\hat{J}}_{\pm }$ cambia l'autovalore di ${\hat{J}}_z$, ma non di ${\widehat{𝐉}}^2$.

La relazione che lega ${\widehat{𝐉}}^2$ e ${\hat{J}}_z$ è:

$⟨j,m_j|({\widehat{𝐉}}^2-{\hat{J}}_z^2)|j,m_j⟩=⟨{\widehat{𝐉}}^2-{\hat{J}}_z^2⟩\ge 0$.

Ciò implica che gli autovalori della proiezione del momento angolare totale $b$ non possono superare quelli di ${\widehat{𝐉}}^2$, cioè $a$:

$-\sqrt{a}\le b\le \sqrt{a}$.

Quindi l'autovalore di ${\hat{J}}_z$ è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere ${\widehat{𝐉}}^2$. Posti $b_{min}$ il valore minimo e $b_{max}$ il valore massimo che può assumere ${\hat{J}}_z$, e applicando successivamente gli operatori di scala ${\hat{J}}_{+},{\hat{J}}_{-}$, deve essere che:

${\hat{J}}_{+}|a,b_{max}⟩=0$ e ${\hat{J}}_{-}|a,b_{min}⟩=0$.

Se si applica ${\widehat{𝐉}}^2$ a $|a,b_{max}⟩$ si ottiene che:

${\widehat{𝐉}}^2|a,b_{max}⟩=(b_{max}^2{\hslash }^2+b_{max}{\hslash }^2)|a,b_{max}⟩$,

da cui:

${\hslash }^{2}a=(b_{max}^2+b_{max}){\hslash }^2={\hslash }^2{b}_{max}(b_{max}+1)$.

Quindi l'autovalore di ${\widehat{𝐉}}^2$ è $a=b_{max}(b_{max}+1)$volte ${\hslash }^2$. A causa della limitatezza di $b$ e data la simmetria di cui $\widehat{J_z}$deve godere rispetto al piano $xy$, si ha che $b$ deve essere necessariamente o intero o semintero. Vi sono pertanto $(2b_{max}+1)$valori di $b$, cioè $b=\{-b_{max},-b_{max}+1,\dots ,b_{max}-1,b_{max}\}$.

Per gli autovalori di ${\widehat{𝐉}}^2$ si ottiene:

${\widehat{𝐉}}^2|j,m_j⟩={\hslash }^{2}j(j+1)|j,m_j⟩$,

e per gli autovalori di ${\hat{J}}_z$:

${\hat{J}}_z|j,m_j⟩=m_j\hslash |j,m_j⟩$,

dove $j$ è il numero quantico del momento angolare totale, che può essere intero o semintero, ed $m_j=\{-j,-j+1,\dots ,j-1,j\}$ è il numero quantico della proiezione del momento angolare totale.

Elementi di matrice

Per analizzare la struttura delle matrici dei momenti angolari, si assuma che tali momenti siano calcolati sugli autostati $|j,j_m⟩$ già normalizzati; di conseguenza in questa base di autostati sia ${\widehat{𝐉}}^2$ sia ${\hat{J}}_z$ sono diagonali:

$⟨j^{\prime },m{\text{'}}_j|{\widehat{𝐉}}^2|j,m_j⟩=j(j+1){\hslash }^2{\delta }_{j^{\prime }j}{\delta }_{m{\text{'}}_j{m}_j}$

$⟨j^{\prime },m{\text{'}}_j|{\hat{J}}_z|j,m_j⟩=m_j\hslash {\delta }_{j^{\prime }j}{\delta }_{m{\text{'}}_j{m}_j}$.

Gli elementi di matrice degli operatori a scala sono dati da:

${\hat{J}}_{+}|j,m_j⟩=c_{+}|j,m_j+1⟩$,

dove $c_{+}$ è un coefficiente. Utilizzando l'uguaglianza:

${\widehat{𝐉}}^2={\hat{J}}_{-}{\hat{J}}_{+}+{\hat{J}}_z^2+{\hat{J}}_z$,

e ricavando l'espressione di ${\hat{J}}_{+}$ e di ${\hat{J}}_{-}$, per ${\hat{J}}_{+}$ si ha che:

$|c_{+}{|}^2={\hslash }^2[j(j+1)-m_j^2-m_j]$.

In definitiva:

${\hat{J}}_{\pm }|j,m_j⟩=\hslash \sqrt{(j\mp m_j)(j\pm m_j+1)}|j,m_j\pm 1⟩$,

e gli elementi di matrice sono:

$⟨j^{\prime },m{\text{'}}_j|{\hat{J}}_{\pm }|j,m_j⟩=\sqrt{(j\mp m_j)(j\pm m_j+1)}\hslash {\delta }_{j^{\prime }j}{\delta }_{m{\text{'}}_j{m}_j\pm 1}$.

Per esempio per $j=1$ si ottiene:

${\hat{J}}_x=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

${\hat{J}}_y=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$

${\hat{J}}_z=\hslash \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$.

Per $j=\frac{1}{2}$ le matrici prendono la forma delle matrici di Pauli a due componenti:

${\hat{J}}_x=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\hat{J}}_y=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\hat{J}}_z=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$.

Per $j=\frac{3}{2}$ le matrici prendono la forma:

${\hat{J}}_x=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cccc}0& \sqrt{3}& 0& 0\\ \sqrt{3}& 0& 2& 0\\ 0& 2& 0& \sqrt{3}\\ 0& 0& \sqrt{3}& 0\end{array}\right)$

${\hat{J}}_y=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cccc}0& -i\sqrt{3}& 0& 0\\ i\sqrt{3}& 0& -2i& 0\\ 0& 2i& 0& -i\sqrt{3}\\ 0& 0& i\sqrt{3}& 0\end{array}\right)$

${\hat{J}}_z=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -3\end{array}\right)$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Numero quantico orbitale
• Numero quantico
• Spin
• Momento angolare orbitale
• Autofunzioni del momento angolare
• Composizione di operatori momento angolare
• Coefficienti di Clebsch-Gordan
• Serie di Clebsch-Gordan